Aiuto con problema di Cauchy

[rexmax]

Salve a tutti, ho questo problema di Cauchy
$\{(y'=(y+1)/sqrt(t)),(y(1)=1):}$
io ho provato a risolverlo in questo modo:
$dy/dt=(y+1)/sqrt(t) rArr \int dy/(y+1)=\int dt/sqrt(t) rArr log|y+1|=2sqrt(t)+C rArr y+1=e^(2sqrt(t)+C) rArr y(t)=e^(2sqrt(t)+C)-1$
ora impongo la condizione iniziale $y(1)=1$ e ricavo C.
$y(1)=e^(2+C)-1=1 rArr e^(2+C)=2 rArr 2+C=log(2) rArr C=log(2)-2$
ora sostituisco la C nella soluzione
$y(t)=e^(2sqrt(t)+log(2)-2)-1$
Tuttavia questo risultato è sbagliato in quanto il mio professore una volta risolto l'integrale continua derivando C:
$ log|y+1|=2sqrt(t)+C rArr y+1=C'e^(2sqrt(t)) rArr y(t)=C'e^(2sqrt(t))-1$
$y(1)=C'e^(2)-1=1 rArr C'=2/e^2$
$y(t)=2e^(2(sqrt(t)-1))-1$
Come ha fatto a risolverlo in questo modo? E perché ha derivato C?
Grazie mille in anticipo

[poncelet]

Io l'ho risolta come te fino ad arrivare a
\[
y(t)=e^{2\sqrt{t}}e^{c}-1
\]
ponendo $e^{c}=c_1$ ottengo
\[
c_1=\frac{2}{e^{2}}
\]
quindi
\[
y(t)=2e^{2\sqrt{t}-2}-1
\]

[gugo82]

Non ha derivato \(C\). Semplicemente \(C^\prime\) è un'altra costante, diversa da \(C\).
(La scelta della notazione, però, è alquanto barbara...)

Inoltre, per il teorema di esistenza ed unicità, le due soluzioni devono coincidere... Ed effettivamente lo fanno, perché
\[
e^{2\sqrt{t} +\log 2 -2} = e^{2\sqrt{t} -2} e^{\log 2} =2\ e^{2(\sqrt{t} -1)}\; .
\]