Aiuto con limiti su Taylor!
Salve,
torno a scrivere su questo forum per chiedere nuovamente aiuto con Taylor. Io frequento la facoltà di Economia, tra pochi giorni avrò anche l'esame di Analisi I. Poiché la mia professoressa spiegava orribilmente, non ho frequentato le ultime lezioni (l'ultima dev'esser stata su Taylor, poiché è nel programma). Il riferimento che ci è stato dato è un libro di testo in cui Taylor viene liquidato in mezza pagina e maldestramente tra l'altro (in sintesi spiaccica la formula e dà degli sviluppi notevoli. La professoressa ha inserito in vari compiti dei limiti con Taylor, e finora, manco a dirlo, non me n'è tornato mezzo.
Ho deciso così di approfondire con video didattici su YT sia in italiano che in inglese, oltre che consultare esercizi svolti su internet. Gli esercizi svolti propongono gli sviluppi notevoli adattati (nel senso, magari fanno lo sviluppo di $e^(2x)$ invece di quello di $e^x$), saltano qualsiasi passaggio e propongono la soluzione (certe volte anche assurde se consideriamo solo gli sviluppi).
Nei video su internet in inglese, si scrivono lo sviluppo fino ad un certo ordine casuale, poi fanno intendere che l'ordine andrà avanti fino ad un certo n, poi, quando raccolgono magari una x, o quando invece dividono e moltiplicano per una medesima quantità, risulta alla fine un limite giusto, ma gli esercizi sono sempliciotti.
Nei video in italiano invece chi si propone di promuovere questi contenuti fa sparire termini a caso, anche seni o coseni (dico a caso perché davvero apparentemente non sembra avere un senso ciò che fanno), senza spiegare il perché (nel programma per altro non ho neppure i simboli di Landau né il confronto tra infinitesimi
).
Comunque, attraverso enormi salti logici, ecco che risolvono un limite senza però far capire la logica che vi risiede dietro.
E allora vi chiedo, potreste darmi voi delle dritte? Perché davvero non riesco a risolverne uno!
Grazie.
torno a scrivere su questo forum per chiedere nuovamente aiuto con Taylor. Io frequento la facoltà di Economia, tra pochi giorni avrò anche l'esame di Analisi I. Poiché la mia professoressa spiegava orribilmente, non ho frequentato le ultime lezioni (l'ultima dev'esser stata su Taylor, poiché è nel programma). Il riferimento che ci è stato dato è un libro di testo in cui Taylor viene liquidato in mezza pagina e maldestramente tra l'altro (in sintesi spiaccica la formula e dà degli sviluppi notevoli. La professoressa ha inserito in vari compiti dei limiti con Taylor, e finora, manco a dirlo, non me n'è tornato mezzo.
Ho deciso così di approfondire con video didattici su YT sia in italiano che in inglese, oltre che consultare esercizi svolti su internet. Gli esercizi svolti propongono gli sviluppi notevoli adattati (nel senso, magari fanno lo sviluppo di $e^(2x)$ invece di quello di $e^x$), saltano qualsiasi passaggio e propongono la soluzione (certe volte anche assurde se consideriamo solo gli sviluppi).
Nei video su internet in inglese, si scrivono lo sviluppo fino ad un certo ordine casuale, poi fanno intendere che l'ordine andrà avanti fino ad un certo n, poi, quando raccolgono magari una x, o quando invece dividono e moltiplicano per una medesima quantità, risulta alla fine un limite giusto, ma gli esercizi sono sempliciotti.
Nei video in italiano invece chi si propone di promuovere questi contenuti fa sparire termini a caso, anche seni o coseni (dico a caso perché davvero apparentemente non sembra avere un senso ciò che fanno), senza spiegare il perché (nel programma per altro non ho neppure i simboli di Landau né il confronto tra infinitesimi
).Comunque, attraverso enormi salti logici, ecco che risolvono un limite senza però far capire la logica che vi risiede dietro.
E allora vi chiedo, potreste darmi voi delle dritte? Perché davvero non riesco a risolverne uno!
Grazie.
Risposte
Una spiegazione rapida e facile facile la puoi trovare a questo indirizzo $rarr$ http://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/limiti-continuita-e-asintoti/768-calcolare-i-limiti-con-gli-sviluppi-di-taylor.html
Molto brevemente, per calcolare un limite con Taylor è sufficiente sostituire ove è possibile a termini apparentemente complicati il loro sviluppo in serie arrestato fino a un'ordine che non è casuale (
) ma che bensì dipende da alcuni fattori.
Ad esempio, se il tuo limite come spesso accade è di una funzione razionale, è opportuno sviluppare in primo luogo il denominatore e poi sviluppare fino allo stesso ordine il numeratore. Tuttavia tieni presente che questa è una regoletta generale che si appioppa sempre a chi è alle prime armi; in realtà è l'esperienza ad insegnarti come e quando sviluppare.
Perché è importante arrestare all'ordine corretto? Perché uno sviluppo non è altro che un'approssimazione: stai cercando un polinomio che approssima sufficientemente bene la funzione nell'intorno di un dato punto. Se l'approssimazione non è sufficientemente accurata si hanno degli errori o ci si trova di fronte a forme indeterminate.
In generale è sempre meglio esagerare con gli sviluppi, e avere termini aggiuntivi che possono essere trascurati, piuttosto che incappare nell'errore di troncare lo sviluppo prematuramente.
Fai così: posta uno degli esercizi che non ti viene, così possiamo lavorare passo per passo e usarlo come esempio. A mio parere è molto più semplice imparare facendo che parlando in questi casi...
Se posso proportene uno facile per iniziare:
$lim_(xrarr0) (sin^2(x)-sin(x^2))/(x^2log(cos(x)))$
Molto brevemente, per calcolare un limite con Taylor è sufficiente sostituire ove è possibile a termini apparentemente complicati il loro sviluppo in serie arrestato fino a un'ordine che non è casuale (
) ma che bensì dipende da alcuni fattori.Ad esempio, se il tuo limite come spesso accade è di una funzione razionale, è opportuno sviluppare in primo luogo il denominatore e poi sviluppare fino allo stesso ordine il numeratore. Tuttavia tieni presente che questa è una regoletta generale che si appioppa sempre a chi è alle prime armi; in realtà è l'esperienza ad insegnarti come e quando sviluppare.
Perché è importante arrestare all'ordine corretto? Perché uno sviluppo non è altro che un'approssimazione: stai cercando un polinomio che approssima sufficientemente bene la funzione nell'intorno di un dato punto. Se l'approssimazione non è sufficientemente accurata si hanno degli errori o ci si trova di fronte a forme indeterminate.
In generale è sempre meglio esagerare con gli sviluppi, e avere termini aggiuntivi che possono essere trascurati, piuttosto che incappare nell'errore di troncare lo sviluppo prematuramente.
Fai così: posta uno degli esercizi che non ti viene, così possiamo lavorare passo per passo e usarlo come esempio. A mio parere è molto più semplice imparare facendo che parlando in questi casi...
Se posso proportene uno facile per iniziare:
$lim_(xrarr0) (sin^2(x)-sin(x^2))/(x^2log(cos(x)))$
Capisco i tuoi problemi, ho avuto modo di visionare dei terribili corsi di matematica per facoltà scientifiche, suppongo che la situazione sia almeno altrettanto tragica ad Economia.
Secondo me, facendo così passi dalla padella nella brace. L'ideale è seguire eserciziari affidabili, eventualmente anche online, ma provenienti da fonti certificate. E comunque visto che hai poco tempo, l'opzione migliore è fare più esercizi possibile.
"iTz_Ovah":
Ho deciso così di approfondire con video didattici su YT sia in italiano che in inglese,
Secondo me, facendo così passi dalla padella nella brace. L'ideale è seguire eserciziari affidabili, eventualmente anche online, ma provenienti da fonti certificate. E comunque visto che hai poco tempo, l'opzione migliore è fare più esercizi possibile.
"Weierstress":
Se posso proportene uno facile per iniziare:
$lim_(xrarr0) (sin^2(x)-sin(x^2))/(x^2log(cos(x)))$
Io ho provato, ed anche questo non mi torna. Ti dico come ho ragionato:
In prima battuta, sia per $sin^2(x)$ che per $sin(x)$ ho ritenuto sufficiente fermarmi ad x, perché il seno è definito solo per derivate dispari, quindi non potevo fermarmi ad x^2.
Dunque il denominatore è immediatamente 0, perché lo sviluppo di $sin^2(x)$ = $x-(x^3/(3!))+...$ , che fermato al primo ordine è semplicemente $x^2$. Lo stesso si può dire per $sin(x^2)$.
Se il numeratore è 0, come succede per x->0, anche il rapporto è uguale a zero.
Vado su Wolfram Alpha per verificare, e non torna...
Ti stai scordando il quadrato nel seno:
\[
(\sin(x))^2=(x-\frac{x^3}{3!}+O(x^5))^2=x^2 - 2\frac{x^4}{3!} +O(x^6)\]
mentre
\[
\sin (x^2)=x^2 -\frac{x^6}{3!}+O(x^{10}).\]
Come ho fatto questi calcoli? Nel primo caso ho sviluppato il quadrato con la formula \((a-b+c)^2=a^2-2ab+b^2+2ac +c^2 -2bc\). Tutti i termini di ordine uguale o superiore a \(x^6\) vanno a finire in \(O(x^6)\). Nel secondo ho sviluppato \(\sin(y)=y-\frac{y^3}{3!}+\ldots\) e sostituito \(y=x^2\).
\[
(\sin(x))^2=(x-\frac{x^3}{3!}+O(x^5))^2=x^2 - 2\frac{x^4}{3!} +O(x^6)\]
mentre
\[
\sin (x^2)=x^2 -\frac{x^6}{3!}+O(x^{10}).\]
Come ho fatto questi calcoli? Nel primo caso ho sviluppato il quadrato con la formula \((a-b+c)^2=a^2-2ab+b^2+2ac +c^2 -2bc\). Tutti i termini di ordine uguale o superiore a \(x^6\) vanno a finire in \(O(x^6)\). Nel secondo ho sviluppato \(\sin(y)=y-\frac{y^3}{3!}+\ldots\) e sostituito \(y=x^2\).
A denominatore , a differenza di quanto avviene a numeratore, avendo solo un prodotto, è sufficiente lo sviluppo asintotico del termine $log (cosx) $, cioè lo sviluppo di Taylor arrestato al primo termine, in quanto tale termine sicuramente non si elide, $cosx~~(1-x^2/2) $, ed $log(1-x^2/2)~~-x^2/2$, quindi $log (cosx)~~-x^2/2$.
Pertanto il risultato del limite sarà dato dal rapporto tra il primo termine utile che non si elide negli sviluppi a numeratore, cioè l'infinitesimo di grado inferiore, ed il termine $-x^2/2$ a denominatore.
Pertanto il risultato del limite sarà dato dal rapporto tra il primo termine utile che non si elide negli sviluppi a numeratore, cioè l'infinitesimo di grado inferiore, ed il termine $-x^2/2$ a denominatore.
"francicko":
Pertanto il risultato del limite sarà dato dal rapporto tra il primo termine utile che non si elide negli sviluppi a numeratore, cioè l'infinitesimo di grado inferiore, ed il termine −x22 a denominatore.
Sì ma... cioè?
Comunque, hai dimenticato il termine $x^2$ al denominatore. Sotto hai $-x^4/2$, sopra hai $-x^4/3$ dunque il risultato corretto è $2/3$.
Sì scusate ho dimenticato il termine $x^2$, comunque quanto ho affermato mi sembra corretto, a denominatore come giustamente detto da @weierstress avremo il termine $(x^2)×(-x^2/2)=-x^4/2$, quindi il risultato del limite è $(-x^4/3)/(-x^2/2)=2/3$.
Bene, allora spero sia più chiaro il procedimento generale da seguire... se hai dei dubbi, posta pure un altro esercizio (possibilmente in un altro topic...)
Ecco, semmai se posso vorrei sapere come sei passato da $1-x^2/2$ a $-x^2/2$, perché è anche quello che non riesco a capire, quando cioè sono autorizzato a far sparire roba e con che criteri...
Grazie intanto a tutti per la risposta!
Grazie intanto a tutti per la risposta!
Intanto chiedo scusa, ho confuso francicko e l'OP 
Comunque, si tratta di una stima asintotica, lecita perché non vi sono operazioni di somma algebrica: $log(1+epsilon_n)∼epsilon_n$
Non è che la roba sparisce
semplicemente si passa ad una forma che, nel passaggio al limite, risulta equivalente.
Comunque, si tratta di una stima asintotica, lecita perché non vi sono operazioni di somma algebrica: $log(1+epsilon_n)∼epsilon_n$
Non è che la roba sparisce
semplicemente si passa ad una forma che, nel passaggio al limite, risulta equivalente.
Al riguardo io suggerisco sempre di evitare i simboli \(\sim\), \(\approx\) eccetera. Sono ambigui e portano facilmente a sbagliare. Meglio portarsi dietro l'errore sotto forma di O grande o o piccolo, *sempre*.
$log (1-x^2/2)=-x^2/2+o(x^2) $
"francicko":
$log (1-x^2/2)=-x^2/2+o(x^2) $
Capisco, io non ho nel programma neppure i simboli di Landau, confronti di infinitesimi e tutta quella roba, quindi... esiste una qualche regola generale?
"iTz_Ovah":
Capisco, io non ho nel programma neppure i simboli di Landau, confronti di infinitesimi e tutta quella roba, quindi... esiste una qualche regola generale?
Chiedo scusa, come si fa a parlare di limiti con Taylor senza introdurre la notazione degli o-piccolo (o al più degli O-grande)? E senza aver mai parlato di confronto di infinitesimi? Sono strumenti praticamente essenziali
Fossi in te rimedierei subito leggendo questa pagina, nonché quest'altra! E' una lettura rapida ma dopo aver capito questi concetti i limiti con Taylor diventeranno una bazzecola
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