Aiuto con limite!
Salve, sto cercando di risolvere un limite che proprio non riesco a semplificare:
$lim_(x->0)(ln( 1 + senx ) / ( xcosx))
Presumo di doverlo ricondurre a un limite notevole, ma non so come fare.
$lim_(x->0)(ln( 1 + senx ) / ( xcosx))
Presumo di doverlo ricondurre a un limite notevole, ma non so come fare.
Risposte
ricorda il $lim_(x->0)(ln(1+x))/x= 1$
e ricorda anche che a questo tipo di limite notevole ci puoi arrivare l'importante è che la funzione che trovi nell'argomento del logaritmo vada a $0$, proprio come nel tuo caso.
e ricorda anche che a questo tipo di limite notevole ci puoi arrivare l'importante è che la funzione che trovi nell'argomento del logaritmo vada a $0$, proprio come nel tuo caso.
Ho provato a fare in un altro modo, ma non so se è giusto:
$lim_(x->0)(ln(1 + senx) / (ln e^(xcosx)))
Semplificando i ln si ha:
$lim_(x->0)((1 + senx) / (e^(xcosx))) = 1/1 = 1
E' corretto o ho fatto una boiata?
$lim_(x->0)(ln(1 + senx) / (ln e^(xcosx)))
Semplificando i ln si ha:
$lim_(x->0)((1 + senx) / (e^(xcosx))) = 1/1 = 1
E' corretto o ho fatto una boiata?
"Nepenthe":
Ho provato a fare in un altro modo, ma non so se è giusto:
$lim_(x->0)(ln(1 + senx) / (ln e^(xcosx)))
Semplificando i ln si ha:
$lim_(x->0)((1 + senx) / (e^(xcosx))) = 1/1 = 1
E' corretto o ho fatto una boiata?
Semplificando i logaritmi? Guarda che non sono mica dei fattori che li puoi semplificare.
Mi hai fatto venire in mentre $sinx/n$ dove semplificando la $n$ si ottiene $sinx/n=six$ cioè 6
Prova moltiplicando numeratore e denominatore per $senx$, così:
$lim_(x->0)(ln(1 + senx)) / (xcosx)=lim_(x->0)(ln(1 + senx)) / (senx) *(senx)/x * 1/cosx$
Scusate se mi intrometto ma visto che l'ultima cosa che hai detto centra con la mia domanda, posto qui 
Allora io ho questo limite:
$ lim x->0 log(1+3x) / (x^2 +2x) $
Il libro fai dei giri per arrivare alla soluzione, visto che tu nel esercizio di prima hai consigliato di moltiplicare e dividere per $senx$, qui posso moltiplicare e dividere per 3 e raccoglione una x sotto per avere il limite notevole con il logaritmo?
$ lim x->0 (3log(1+3x)) / (3x(x+2)) $
cosi il limite verrebbe $3/2$
Se va bene secondo voi è utile moltiplicare e dividere per avere degli eventuali limiti notevoli invece di fare altro?
Grazie.
Allora io ho questo limite:
$ lim x->0 log(1+3x) / (x^2 +2x) $
Il libro fai dei giri per arrivare alla soluzione, visto che tu nel esercizio di prima hai consigliato di moltiplicare e dividere per $senx$, qui posso moltiplicare e dividere per 3 e raccoglione una x sotto per avere il limite notevole con il logaritmo?
$ lim x->0 (3log(1+3x)) / (3x(x+2)) $
cosi il limite verrebbe $3/2$
Se va bene secondo voi è utile moltiplicare e dividere per avere degli eventuali limiti notevoli invece di fare altro?
Grazie.
"Matematico90_":
Scusate se mi intrometto ma visto che l'ultima cosa che hai detto centra con la mia domanda, posto qui
Allora io ho questo limite:
$ lim x->0 log(1+3x) / (x^2 +2x) $
Il libro fai dei giri per arrivare alla soluzione, visto che tu nel esercizio di prima hai consigliato di moltiplicare e dividere per $senx$, qui posso moltiplicare e dividere per 3 e raccoglione una x sotto per avere il limite notevole con il logaritmo?
$ lim x->0 (3log(1+3x)) / (3x(x+2)) $
cosi il limite verrebbe $3/2$
Se va bene secondo voi è utile moltiplicare e dividere per avere degli eventuali limiti notevoli invece di fare altro?
Grazie.
E' giusto, sì.
Cosa intendi per "fare altro"? Dipende dall'intuizione di chi sta svolgendo il limite. In questo caso, fare come hai fatto tu, mi sembra proprio la strada più semplice.
EDIT: Ti faccio notare che, moltiplicare e dividere per $sin(x)$, è diverso dal moltiplicare e dividere per una costante. Ne sei consapevole? Ora rilancio una domanda; secondo te, "Matematico90", come mai posso moltiplicare e dividere per $sin(x)$?
Perchè nel limite x tende a 0?
"Matematico90_":
Perchè il limite tende a 0?
E' corretto (anche se sarebbe meglio dire che "è il limite per $x -> 0$", poiché il limite non "tende a").
Già che ci sono, rispondo al tuo messaggio privato. Nessuna presa in giro; perché avrei dovuto? "Matematico90" mi sembra uno pseudonimo, quindi ho deciso di metterlo tra i "quotation marks".
Inoltre la tua domanda:
Se va bene secondo voi è utile moltiplicare e dividere per avere degli eventuali limiti notevoli invece di fare altro?
non è chiara. E' come se, durante una partita a scacchi, mi chiedessi: "è meglio prendere l'alfiere avversario o fare altro?". Cosa sarebbe questo "fare altro"?
Secondo me, riguardo al tuo limite, era molto semplice risolvere come hai fatto tu. Se fosse stato un limite molto più complicato, avrebbe potuto non essere così utile (o addirittura inutile) ricondursi ai soliti limiti notevoli.
Quello che volevo dire io era se andava bene come metodo rapido per i limiti facili. Ovvio che se il limite è più complesso bisogna ricorrere ad altro. Comunqua mi dispiace per il malinteso.
Butto qui un altro limite:
$ lim x->0 ((sinx)/x)^(x^(-2) )$
qui se separo le potenze in modo tale che venga:
$ lim x->0$ [$ ((sinx)/x)^(x)]^(-2)$
così in teoria sarebbe $1$ per il limite notevole alla $0$ che viene ancora $1$ poi ancora alla $-2$ viene $1$? E' sbagliato?
Butto qui un altro limite:
$ lim x->0 ((sinx)/x)^(x^(-2) )$
qui se separo le potenze in modo tale che venga:
$ lim x->0$ [$ ((sinx)/x)^(x)]^(-2)$
così in teoria sarebbe $1$ per il limite notevole alla $0$ che viene ancora $1$ poi ancora alla $-2$ viene $1$? E' sbagliato?
Attento che:
$[ ((sinx)/x)^(x)]^(-2) != [ ((sinx)/x)^(x^(-2))]$
e $x^(-2)$ non è definita nel punto $0$.
$[ ((sinx)/x)^(x)]^(-2) != [ ((sinx)/x)^(x^(-2))]$
e $x^(-2)$ non è definita nel punto $0$.
Ah ok quindi è sbagliat? Come sarebbe allora?
"Matematico90_":
Ah ok quindi è sbagliato?
Sì.. Si presenta in forma indeterminata del tipo $[1^(oo)]$.
Quindi devo usare l'identità logaritmica?
In questo caso farei così, sì. Ma sai, con i limiti non esiste sempre un procedimento meccanico. Poò darsi che per altra via ti risulti più semplice.
Perfetto ti ringrazio davvero..Ti posso chiedere solo un'altra cosa che magari è stupidissma, ma perchè non è definita in 0 x alla -2? grazie ancora
"Matematico90_":
Perfetto ti ringrazio davvero..Ti posso chiedere solo un'altra cosa che magari è stupidissma, ma perchè non è definita in 0 x alla -2? grazie ancora
Prova a pensare $x^(-2)$ come $1/(x^2)$...
Giusto...Ok grazie mille!
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