Aiuto con limite

[f4747912]

ciao ragazzi trovo difficolta con questo limite

$lim n->oo [ n e^sqrt(n+1))/((n+1)e^(sqrtn)$

su wolfram alpha il limite mi dice che deve essere uguale ad 1 .. ma non mi trovo con i passaggi che fa.


Mi date una mano.. ?

[feddy]

ciao,
ti basta usare il confronto fra infiniti...

A chi è asintotico il numeratore?
E Il denominatore?

[f4747912]

$(n/n+1)$ mi trovo che sono dello stesso ordine.

ma $ e^(sqrt(n+1))/(e^(sqrtn))$ sono dello stesso ordine? come faccio a stabilirlo.. io credevo prevalesse $e^(sqrt(n+1)$

[feddy]

Al numeratore "prevale" l'esponenziale... esso tende a $+\infty$ molto più rapidamente di n.
Stessa cosa al denominatore...
Pertanto puoi scrivere:
$ lim_(n -> +infty) e^sqrt(n+1)/e^sqrt(n) $
il termine generale puoi vederlo come:

$ e^sqrt(n+1)*e^-sqrt(n)=e^{sqrt(n+1)-sqrt(n)} $ , che è ancora una forma indeterminata.

Puoi scioglierla moltiplicando sopra e sotto per $sqrt(n+1)+sqrt(n)$, oppure notare che in realtà il fatto che dentro la radice ci sia $+1$ non cambia l'andamento asintotico della funzione e pertanto hai $ e^{sqrt(n)-sqrt(n)}= e^{0}=1 $

[f4747912]

grazie mille non ci avevo proprio pensato .. infatti disegnando il grafico al computer è solo piu spostato ma tutto sommato l'andamento è quello

[feddy]

di niente
questi "trucchetti" sono il risultato della teoria del confronto fra "infiniti"... averla ben chiara semplifica moltissimo i limiti