Aiuto con la soluzione di Integrale
Ciao a tutti,
sto svolgendo questo integrale
$\int_0^1sqrt{2x+1}+e^xdx$
Alla soluzione ci arrivo ma non perchè HO CAPITO come si fa, ma semplicemente perchè mi è stato detto di fare così.
Quello che non mi è chiaro è un passaggio specifico in cui inserisco un 2 all'interno dell'integrale e $1/2$ fuori e non ho capito perchè.
Inizio a svolgere l'integrale:
$int_0^1sqrt{2x+1} dx + int_0^1e^x dx$
Poi arrivo al passaggio per me completamente OSCURO e vi prego di darmi una mano a capirlo con parole semplicissime, come se io fossi alla prima elementare, sennò non lo capirò mai (capisco che è noioso ma...perdonatemi!
):
Ecco il passaggio oscuro:
$1/2 int_0^1 2sqrt{2x+1} dx + int_0^1 e^x dx$
Quello che non ho capito è:
- perchè devo mettere il primo 2 all'interno dell'integrale???;
- per quale motivo devo mettere $1/2$ fuori prima dell'integrale???;
Potreste aiutarmi?
Grazie
Luca
p.s. mi sono impegnato per scrivere con la sintassi corretta!
sto svolgendo questo integrale
$\int_0^1sqrt{2x+1}+e^xdx$
Alla soluzione ci arrivo ma non perchè HO CAPITO come si fa, ma semplicemente perchè mi è stato detto di fare così.
Quello che non mi è chiaro è un passaggio specifico in cui inserisco un 2 all'interno dell'integrale e $1/2$ fuori e non ho capito perchè.
Inizio a svolgere l'integrale:
$int_0^1sqrt{2x+1} dx + int_0^1e^x dx$
Poi arrivo al passaggio per me completamente OSCURO e vi prego di darmi una mano a capirlo con parole semplicissime, come se io fossi alla prima elementare, sennò non lo capirò mai (capisco che è noioso ma...perdonatemi!
):Ecco il passaggio oscuro:
$1/2 int_0^1 2sqrt{2x+1} dx + int_0^1 e^x dx$
Quello che non ho capito è:
- perchè devo mettere il primo 2 all'interno dell'integrale???;
- per quale motivo devo mettere $1/2$ fuori prima dell'integrale???;
Potreste aiutarmi?
Grazie
Luca
p.s. mi sono impegnato per scrivere con la sintassi corretta!
Risposte
Penso che chi l'ha risolto manipolando le costanti, l'ha fatta per sfruttare delle "regolette", che io sinceramente non ricordo, comunque il primo integrale, visto che sei alle prime armi, risolvilo con una sostituzione $2x + 1 = t$ e poi dovresti riuscire semplicemente.
Il ragionamento che devi fare è il seguente: se in una funzione hai la variabile $x$ moltiplicata per una costante, tipo $ax$, quando derivi dovrai ottenere questa costante. Ad esempio, se fosse $f(x)=e^{3x}$ allora la derivata risulta $f'(x)=3 e^{3x}$ (regola di derivazione delle funzioni composte. Se allora io voglio calcolare l'integrale di $e^{3x}$, utilizzando l'espressione per la derivata e la definizione di primitiva, ottengo
$\int e^{3x}\ dx=\int\frac{f'(x)}{3}\ dx=1/3\int f'(x)\ dx=1/3\cdot f(x)=\frac{e^{3x}}{3}$
Ovviamente, non sapendo da quale funzione viene fuori quella derivata, quello che fai praticamente è moltiplicare e dividere per la stessa costante $a$: per cui, nell'esempio che ti ho fatto, avresti
$\int e^{3x}\ dx=1/3\int 3e^{3x}\ dx=...$
Chiaro?
$\int e^{3x}\ dx=\int\frac{f'(x)}{3}\ dx=1/3\int f'(x)\ dx=1/3\cdot f(x)=\frac{e^{3x}}{3}$
Ovviamente, non sapendo da quale funzione viene fuori quella derivata, quello che fai praticamente è moltiplicare e dividere per la stessa costante $a$: per cui, nell'esempio che ti ho fatto, avresti
$\int e^{3x}\ dx=1/3\int 3e^{3x}\ dx=...$
Chiaro?
Il primo integrale è quasi immediato. L'artificio viene utilizzato per metterlo in questa forma:
$\intf'(x)*[f(x)]^\alphadx=([f(x)]^(\alpha+1))/(\alpha+1)+C$
$\intf'(x)*[f(x)]^\alphadx=([f(x)]^(\alpha+1))/(\alpha+1)+C$
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