Aiuto con integrale

[lolopo1]

$ int_(3)^(4) (x)/((x-2)(x^2+1)) dx $


ho provato a fare così

$ (x)/((x-2)(x^2+2))=(A)/(x-2)+(Bx+c)/(x^2+1 $


$ (A(x^2+1)+(Bx+C)(x-2))/((x-2)(x^2+1) $

$ (Ax^2+A+Bx^2-2Bx+Cx-2C)/((x-2)(x^2+1) $

$ ((A+B)x^2+(C-2B)x+A-2C)/((x-2)(x^2+1) $

Ma non so se sto facendo bene o errando il tutto

[pilloeffe]

Ciao lolopo,

Stai facendo bene, alla fine dovresti trovare $A = - B = 2/5 $ e $C = 1/5 $

[lolopo1]

Nell ottenere A e B mi confondo . Perchè il sistema lo imposto cosi . e non mi trovo

$ { ( A+B=0 ),( C-2B=1),( A-2C=0 ):} $

[pilloeffe]

"lolopo":Nell'ottenere A e B mi confondo

Cos'è che ti confonde? Dalla prima trovi proprio $A = - B $, lo sostituisci nell'ultima e trovi $B = - 2C $ che sostituita nella seconda porge $5 C = 1 \implies C = 1/5 \implies B = - 2/5 \implies A = 2/5 $

[lolopo1]

Intanto grazie mille per l aiuto che mi stai dando

Si ora mi trovo fin qui

poi continuerei cosi

$ int_(3)^(4) 1/5*(x)/(x-2)dx +int_(3)^(4) -2/5*(x^2)/(x^2-1) dx +int_(3)^(4) 1/5-(x)/(x^2*1) dx $

Ma forse stavolta ho sbagliato sicuramente

[pilloeffe]

"lolopo":Intanto grazie mille per l'aiuto che mi stai dando

Prego!

"lolopo":Ma forse stavolta ho sbagliato sicuramente

Ma forse... Sicuramente...
Come dice un mio amico ci devi credere: se non ci credi tu non ci credo neanch'io...
Ma scusa, se hai detto che si ha

$ x/((x-2)(x^2+1))=A/(x-2)+(Bx+C)/(x^2+1)$

e hai trovato che $A = - B = 2/5 $ e $C = 1/5 $, basta sostituire i valori trovati e si ha:

$ \int_{3}^{4} x/((x-2)(x^2+1)) \text{d}x = 2/5 \int_{3}^{4} 1/(x-2) \text{d}x - 1/5 \int_{3}^{4} (2x - 1)/(x^2+1) \text{d}x = $
$ = 2/5 \int_{3}^{4} 1/(x-2) \text{d}x - 1/5 \int_{3}^{4} (2x)/(x^2+1) \text{d}x + 1/5 \int_{3}^{4} 1/(x^2 + 1) \text{d}x $

Ora riesci a proseguire?

[lolopo1]

Sinceramente non ho capito perchè da
$ +(Bx+C)/(x^2+1 $

sostituendo i valori esca

$ -1/5int_(4)^(3) (2x-1)/(x^2+1) dx $

Scusami se non sono esperto , ma le sto apprendendo pian piano queste cose

[pilloeffe]

Guarda cosa valgono $B$ e $C$ già trovati e dovresti renderti conto che, raccogliendo $-1/5 $, risulta proprio ciò che ho scritto nel post precedente (che è diverso da ciò che hai scritto nel tuo ultimo post perché hai invertito gli estremi di integrazione).

[lolopo1]

ok si si ora ho capito grazie

poi la proseguirei cosi

$ 2/5log | x-2| -1/5log | X^2-2| +1/5arctan x $

sempre come indefinito

[pilloeffe]

No, il risultato dell'integrale indefinito relativo a quello definito proposto è il seguente:

$ \int x/((x-2)(x^2+1)) \text{d}x = 2/5ln|x-2| -1/5 ln(x^2 + 1) +1/5 arctan x + c $

[lolopo1]

$ 2/5ln (2)-1/5ln (17)+1/5arctan (4)-2/5ln (1)+1/5ln (10)-1/5arctan (3) $


Poi cosi ?

[pilloeffe]

Beh, considerando che $ln(1) = 0 $ scriverei meglio il risultato nel modo seguente:

$ \int_3^4 x/((x-2)(x^2+1)) \text{d}x = 1/5[ln(40) - ln(17) + arctan(4) - arctan(3)] $

[lolopo1]

Non ho capito benissimo come è stata effettuata questa parte di messa in evidenza

$ 1/5[ln (40)-ln (17) $

visto che compare anche un
$ 2/5ln (2) $

il $ 2/5 $ come è stato trasformato ? e quel ( 40 ) come si ottiene?

[pilloeffe]

Proprietà dei logaritmi:

$ 2/5 ln(2)-1/5 ln(17)+1/5 arctan (4)-2/5 ln(1)+1/5 ln(10)-1/5 arctan(3) = $
$ = 1/5 ln(2^2)-1/5 ln(17)+1/5 arctan(4)-0+1/5 ln(10)-1/5 arctan(3) = $
$ = 1/5 ln(4) +1/5 ln(10) -1/5 ln(17)+1/5 arctan(4)-1/5 arctan(3) = $
$ = 1/5 ln(40) -1/5 ln(17)+1/5 arctan(4)-1/5 arctan(3) = $
$ = 1/5[ln(40) - ln(17) + arctan(4) - arctan(3)] $

[lolopo1]

ok grazie mille come sempre per l aiuto . Molto gentile

Posso rubarti un po di tempo e farmi aiutare in un ultimo integrale ? Scusami se me ne approfitto della tua disponibilita