Aiuto con integrale?

[lukixx]

$ int e^(x^(2)y)(1+x^(2)(2y-3)-2x^4y) dx $
vi sarei infinitamente grato se mi aiutaste a risolvere questo integrale, a breve ho la prova intercorso di AM2

[maschinna]

Hai provato a spezzarlo ed ad integrare per parti?

[anto_zoolander]

Devo ammettere che questo integrale è stato carino.
Si risolve in un colpo, individuato l'inghippo.

$inte^(x^2y)(1+x^2(2y-3)-2x^4y)dx$

Sostanzialmente in questo integrale si va alla ricerca disperata di una $x$ che permetta di integrare la parte relativa all'esponenziale. Io ho ragionato così:

$inte^(x^2y)(1-3x^2+2x^2y-2x^4y)dx$

$inte^(x^2y)(1-3x^2)dx+inte^(x^2y)(2x^2y-2x^4y)dx$

Già quì dovrebbe saltare all'occhio qualcosa, che diventa ancora più evidente raccogliendo nel secondo integrale $(2yx)$

$inte^(x^2y)(1-3x^2)dx+int(2yx)e^(x^2y)(x-x^3)dx$

Nota che il primo integrale si ottiene esattamente integrando per parti il secondo, però di segno opposto, infatti finiscono per elidersi a vicenda. Dunque integro per parti il secondo:

$inte^(x^2y)(1-3x^2)dx+e^(x^2y)(x-x^3)-inte^(x^2y)(1-3x^2)dx$

Dunque alla fine..

$e^(x^2y)(x-x^3)+c$

.. è, o quanto meno dovrebbe, essere la soluzione