Aiuto con funzione parametrica.....
ciao a tutti questa è la causa del baratro in cui sono caduta, data: $ { ( (x^n*(1-x)^m)/ln(1-x) text{per } x in(-oo;1)-{0} ),(0 text{ per } x=0 vv x=1):}$
si stabilisca per quali parametri $ n,m inZZ $ la funzione è derivabile in $ (-oo,1] $ .
so come funziona il procedimento,ma la complessità dell'esercizio non me lo fa mettere in pratica....
per trovare dov'è continua ad esempio mi risulta un po rognoso un limite...si puo fare questa cosa: $ lim_(x ->0)(x^n*(1-x)^m)/ln(1-x) = -lim_(x ->0)(x^(n-1)*(1-x)^m) ?? $
ho cercato di ricondurre al limite notevole del logaritmo in quel caso...ma nn riesco a vederci niente di convincente...
[mod="Paolo90"]Sistemate le formule. [/mod]
si stabilisca per quali parametri $ n,m inZZ $ la funzione è derivabile in $ (-oo,1] $ .
so come funziona il procedimento,ma la complessità dell'esercizio non me lo fa mettere in pratica....
per trovare dov'è continua ad esempio mi risulta un po rognoso un limite...si puo fare questa cosa: $ lim_(x ->0)(x^n*(1-x)^m)/ln(1-x) = -lim_(x ->0)(x^(n-1)*(1-x)^m) ?? $
ho cercato di ricondurre al limite notevole del logaritmo in quel caso...ma nn riesco a vederci niente di convincente...
[mod="Paolo90"]Sistemate le formule. [/mod]
Risposte
eheh ...grazie per averla corretta!
"ballerina85":
per trovare dov'è continua ad esempio mi risulta un po rognoso un limite...si puo fare questa cosa: $ lim_(x ->0)(x^n*(1-x)^m)/ln(1-x) = -lim_(x ->0)(x^(n-1)*(1-x)^m) ?? $
ho cercato di ricondurre al limite notevole del logaritmo in quel caso...ma nn riesco a vederci niente di convincente...
Direi che non e' rognoso tale limite.
Solo devi discuterlo al variare di n e m.
Se $n>=2$ e $m$ qualsiasi allora il limite vale ovviamente 0 (basta sostituire 0 al posto di x)
se $n=1$ e $m$ qulasiasi allora il limite vale -1 (ancora basta tenere conto che il termine $x^(n-1)$ sparisce e poi sostituire 0 al posto di x)
se invece $n<1$ allora il termine $x^(n-1)$ ha esponente negativo e quindi andra' a denominatore. Esso (cioe' $x^(n-1)$) vale $0^+$ o $0^-$ a seconda che il limite che stai facendo sia per x che tende a $0^+$ o $0^-$ e a seconda che $(n-1)$ sia pari o dispari. Il limite varra' quindi $+\infty$ o $-\infty$
Benvenuta!
io non ci vedo errori in quel passaggio!
per la derivabilità però devi confrontare la derivata destra e sinistra..
io non ci vedo errori in quel passaggio!
per la derivabilità però devi confrontare la derivata destra e sinistra..
quindi significa che quando andrò a fare i limiti per le corrispettive derivate dovrò farlo per tre volte su tre casi diversi per il punto $ x=0 $ ....e non potrò sostituire alcun numero ai parametri a parte il secondo caso con $ n=1 $
dovrò imporre 3 diversi casi di continuità in 0...humm
dovrò imporre 3 diversi casi di continuità in 0...humm
...anzi per $ n<1 $ non può essere continua...quindi mi interessa solo per $ n>=2 $ e per $ n=1 $
"ballerina85":
...anzi per $ n<1 $ non può essere continua...quindi mi interessa solo per $ n>=2 $ e per $ n=1 $
Esattamente. E questo per quanto riguarda la continuità.
Poi devi rifare la stessa cosa per la derivabilità in 0
se $n=1$ e $m$ qulasiasi allora il limite vale -1 (ancora basta tenere conto che il termine sparisce e poi sostituire 0 al posto di x)
perchè è -1 e non 1?facendo le sostituzioni suggerite non dovrebbe venire 1? cosa mi perdo?
"isolamaio":se $n=1$ e $m$ qulasiasi allora il limite vale -1 (ancora basta tenere conto che il termine sparisce e poi sostituire 0 al posto di x)
perchè è -1 e non 1?facendo le sostituzioni suggerite non dovrebbe venire 1? cosa mi perdo?
Allora avevamo questo limite $lim_(x ->0)(x^n*(1-x)^m)/ln(1-x)$ che con il limite notevole del logaritmo diventa $-lim_(x ->0)(x^(n-1)*(1-x)^m)$
Ora se $n=1$ allora $n-1=0$ e quindi il limite diventa $-lim_(x ->0)(x^0*(1-x)^m)$.
Ma $x^0=1$ e quindi $-lim_(x ->0)(1-x)^m=-(1-0)^m=-(1^m)=-1$
Ora e' piu' chiaro?
si, ma quale limite dei logaritmi è stato applicato?
io conosco $(ln(1+x))/x$
ma non saprei adattarlo alla situazione. ce ne sono forse altri che non conosco?
io conosco $(ln(1+x))/x$
ma non saprei adattarlo alla situazione. ce ne sono forse altri che non conosco?
"isolamaio":
si, ma quale limite dei logaritmi è stato applicato?
io conosco $(ln(1+x))/x$
ma non saprei adattarlo alla situazione. ce ne sono forse altri che non conosco?
be rendere chiara questa cosa non sarebbe male infatti: $ lim_(x->0)((x^n*(1-x)^m)/(ln(x-1)))=lim_(x->0)((x*x^(n-1)*(1-x)^m)/(ln(x-1))) $
dove c'è dentro $ lim_(x->0)(x/(ln(x-1)))=-1 $ ...essendo $ lim_(x->0)(ln(x+1)/x)=1 $
che sussiste proprio grazie al fatto che i parametri $ n,m in ZZ $ ,altrimenti non si poteva fare,gia se fosse stato $ QQ $ (fin qua penso che eravamo tutti daccordo)
"isolamaio":
si, ma quale limite dei logaritmi è stato applicato?
io conosco $(ln(1+x))/x$
ma non saprei adattarlo alla situazione. ce ne sono forse altri che non conosco?
E' esattamente questo che è stato adottato (o quasi). Cioè:
tu sai che $lim_(x ->0)ln(1+x)/x=1$
In realtà però tutti i limiti notevoli non si hanno solo per x che tende a 0, ma più in generale per f(x) quando f(x) tende a 0.
Cioè vale:
$lim_(f(x) ->0)ln(1+f(x))/(f(x))=1$
Ovvero, se ad esempio hai da fare $lim_(x ->2)ln(1+(x-2))/(x-2)=1$ allora vedi $f(x)=x-2$ e dato che $x$ tende a 2 allora $f(x)=x-2$ tende a 0.
Allora per quanto ti ho detto $lim_(x ->2)ln(1+(x-2))/(x-2)=lim_(f(x) ->0)ln(1+f(x))/(f(x))=1$
Nell'esercizio in questione hai a denominatore $ln(1-x)$
Ora $x$ tende a 0 e quindi $f(x)=-x$ tende a 0.
Allora $lim_(x ->0)ln(1-x)/(-x)=1$ e quindi ovviamente (passando al reciproco) $lim_(x ->0)-x/(ln(1-x))=1$
Applica questo al limite che dobbiamo fare e hai il risultato
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