Aiuto con funzione integrale
Ciao a tutti,
mi sono imbattuto in una serie di quesiti riguardo una funzione integrale. Il testo è il seguente:
"Si supponga che $f \in C^1 (\mathbb{R}^+)$ sia tale che $f(0) = 0$. Si consideri inoltre la seguente funzione $g:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ definita da
\[
g_f (t) = \int_0^t \frac{f(x)}{x+1} \, dx \text{.}
\]
Questi sono i miei tentativi ad ogni quesito
1. Sì. Per la proprietà degli estremi coincidenti di un integrale, $g_f (0) = 0$ (risposta sufficiente per il mio Prof).
2. La funzione integranda è definita e continua $\forall x \in \mathbb{R}^+$ (rapporto di due funzioni continue), dunque per il teorema fondamentale del calcolo integrale (o teorema di Torricelli-Barrow), $g_{f} (t)$ è continua e derivabile in tutti i punti in cui $\frac{f(x)}{x+1}$ è derivabile (nel suo dominio).
Nonostante questa sia la risposta accettata dal nostro Prof, non si dovrebbe però assumere, affinché il teorema di Torricelli-Barrow funzioni, che la funzione integranda sia limitata nel dominio; o sbaglio?
(Cosa succederebbe se
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x+1} = +\infty
\]
?)
3. Qui la soluzione del nostro docente è la seguente:
...però non posso porre $f(x) = k$, dove $k \in \{\mathbb{N} - 1\}$, altrimenti $f(0) \ne 0$. Quindi boh?
4. Questa proprio non lo so. Il nostro Prof. ha suggerito una $f(x)$ costante a pezzi, che proprio non so come costruire al momento.
5. Calcolo $g_x^2 (t) = \int_0^t \frac{f(x)}{x+1} \, dx$
\begin{align*}
g_{x^2} (1) &= \int_0^1 \frac{x^2}{x+1} \, dx = \int_0^1 \frac{x^2 + 1 - 1}{x+1} \, dx
= \int_0^1 \frac{1}{x+1} \, dx + \int_0^1 \frac{\overbrace{(x+1)(x-1)}^{=x^2 - 1}}{x+1} \, dx \\
&= \int_0^1 \frac{1}{x+1} \, dx + \int_0^1 x \,dx + \int_0^1 1 \, dx =
\ln 2 + \frac{1}{2} - 1 = \ln 2 - \frac{1}{2}
\end{align*}
Come vedete, ho qualche dubbio riguardo sia i quesiti proposti sia gli approcci del mio docente nel rispondere ad ogni quesito.
Potete aiutarmi?
Ty
mi sono imbattuto in una serie di quesiti riguardo una funzione integrale. Il testo è il seguente:
"Si supponga che $f \in C^1 (\mathbb{R}^+)$ sia tale che $f(0) = 0$. Si consideri inoltre la seguente funzione $g:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ definita da
\[
g_f (t) = \int_0^t \frac{f(x)}{x+1} \, dx \text{.}
\]
1. È vero che necessariamente $g_f (0) = 0$?
2. La funzione $g_f$ è continua e derivabile? Perché?
3. È vero che per ogni $f$ positiva e limitata, allora $g$ è limitata?
4. (difficile) È vero che se $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ allora $g$ è limitata?
5. Calcolare $g_f (1)$, dove $f(x) = x^2$".
[/list:u:3kpq11ot]
Questi sono i miei tentativi ad ogni quesito
1. Sì. Per la proprietà degli estremi coincidenti di un integrale, $g_f (0) = 0$ (risposta sufficiente per il mio Prof).
2. La funzione integranda è definita e continua $\forall x \in \mathbb{R}^+$ (rapporto di due funzioni continue), dunque per il teorema fondamentale del calcolo integrale (o teorema di Torricelli-Barrow), $g_{f} (t)$ è continua e derivabile in tutti i punti in cui $\frac{f(x)}{x+1}$ è derivabile (nel suo dominio).
Nonostante questa sia la risposta accettata dal nostro Prof, non si dovrebbe però assumere, affinché il teorema di Torricelli-Barrow funzioni, che la funzione integranda sia limitata nel dominio; o sbaglio?
(Cosa succederebbe se
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x+1} = +\infty
\]
?)
3. Qui la soluzione del nostro docente è la seguente:
"No. Basta provare con una costante: si ottiene un integrale che cresce come un logaritmo."
...però non posso porre $f(x) = k$, dove $k \in \{\mathbb{N} - 1\}$, altrimenti $f(0) \ne 0$. Quindi boh?
4. Questa proprio non lo so. Il nostro Prof. ha suggerito una $f(x)$ costante a pezzi, che proprio non so come costruire al momento.
5. Calcolo $g_x^2 (t) = \int_0^t \frac{f(x)}{x+1} \, dx$
\begin{align*}
g_{x^2} (1) &= \int_0^1 \frac{x^2}{x+1} \, dx = \int_0^1 \frac{x^2 + 1 - 1}{x+1} \, dx
= \int_0^1 \frac{1}{x+1} \, dx + \int_0^1 \frac{\overbrace{(x+1)(x-1)}^{=x^2 - 1}}{x+1} \, dx \\
&= \int_0^1 \frac{1}{x+1} \, dx + \int_0^1 x \,dx + \int_0^1 1 \, dx =
\ln 2 + \frac{1}{2} - 1 = \ln 2 - \frac{1}{2}
\end{align*}
Come vedete, ho qualche dubbio riguardo sia i quesiti proposti sia gli approcci del mio docente nel rispondere ad ogni quesito.
Potete aiutarmi?
Ty
Risposte
L' 1) va bene. Il 2) va bene, e il tuo dubbio si scioglie se pensi che la derivata sia una cosa in cui è importante solo come la funzione si comporta in un intorno del punto, in cui è limitata. Per il 3) vabbè intendeva asintoticamente, puoi prendere (il prolungamento per continuità in $0$ di) $(x+1)/x$ per vederlo più chiaramente possibile. Per il 4) prova con $1/ln(x)$. Il 5) va bene, a parte un segno.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo