Aiuto con funzione a due variabili
Salve, sto provando a risolvere questo esercizio ma non ne riesco a venire fuori, o meglio, non sono mai convinto dei risultati
Determinare il massimo e minimo assoluti della funzione
$ f(x,y): 10*sqrt(x^2+y^2)-6x-5y^2 $
nel cerchio C che ha centro nell'origine e raggio 2.
Potreste gentilmente dirmi in linea generale il procedimento o i metodi di risoluzione? io avevo provato con i moltiplicatori di lagrange
grazie
Determinare il massimo e minimo assoluti della funzione
$ f(x,y): 10*sqrt(x^2+y^2)-6x-5y^2 $
nel cerchio C che ha centro nell'origine e raggio 2.
Potreste gentilmente dirmi in linea generale il procedimento o i metodi di risoluzione? io avevo provato con i moltiplicatori di lagrange
grazie
Risposte
Per prima cosa, analizza cosa accade all'interno del cerchio, cioè nei punti $(x,y)\ :\ x^2+y^2<4$, usando il gradiente e l'hessiana della funzione.
Fatto questo, concentrati sul bordo. Puoi procedere in due modi:
1) usando i moltiplicatori di Lagrange e scrivendo $L=f-\lambda(x^2+y^2-4)$;
2) osservando che sul bordo deve essere $y^2=4-x^2$ e quindi puoi sostituire nella funzione ottenendo una nuova funzione da studiare nella sola variabile $x$.
Fatto questo, concentrati sul bordo. Puoi procedere in due modi:
1) usando i moltiplicatori di Lagrange e scrivendo $L=f-\lambda(x^2+y^2-4)$;
2) osservando che sul bordo deve essere $y^2=4-x^2$ e quindi puoi sostituire nella funzione ottenendo una nuova funzione da studiare nella sola variabile $x$.
ook grazie mille, ora vedo che ne esce fuori 
Allora non ho concluso un cavolo, mi sono bloccato sul determinante e sull'hessiano, cioè, calcolo le derivate prime miste e le metto a sistema che risulta essere:
$ { ( 10x/sqrt(x^2+y^2)-6=0 ),( 10y/sqrt(x^2+y^2)-10y=0):} $
premetto che i sistemi li odio, comunque, ho risolto così:
dato che in entrambi è presente a denominatore quella radice fastidiosa, ho ricavato il suo valore dalla seconda equazione ovvero si verifica per radice(x^2+y^2)=1 e sostituendo alla prima equazione mi risulta che x=3/5 per cui dalla equazione della radice "radice(x^2+y^2)=1" ne ho ricavato che y=4/5.
Finchè le equazioni del sistema stanno così per come sono per il punto (3/5;4/5) sono entrambe verificate, la seconda equazione da come si può facilmente notare è verificata anche per (x;y)=(0;0) ma non la prima a meno che quest'ultima non si trasforma nell'equivalente:
$ 10x-sqrt(x^2+y^2)*6=0 $
che continua ad essere verificata per (3/5;4/5) e per (0;0)
Il mio dubbio è, in questo caso vale applicare delle modifiche alle equazioni?
Se la risposta e si il secondo problema sta nell'hessiano che per (0;0) mi risulta nullo e ho problemi a risolverlo
$ { ( 10x/sqrt(x^2+y^2)-6=0 ),( 10y/sqrt(x^2+y^2)-10y=0):} $
premetto che i sistemi li odio, comunque, ho risolto così:
dato che in entrambi è presente a denominatore quella radice fastidiosa, ho ricavato il suo valore dalla seconda equazione ovvero si verifica per radice(x^2+y^2)=1 e sostituendo alla prima equazione mi risulta che x=3/5 per cui dalla equazione della radice "radice(x^2+y^2)=1" ne ho ricavato che y=4/5.
Finchè le equazioni del sistema stanno così per come sono per il punto (3/5;4/5) sono entrambe verificate, la seconda equazione da come si può facilmente notare è verificata anche per (x;y)=(0;0) ma non la prima a meno che quest'ultima non si trasforma nell'equivalente:
$ 10x-sqrt(x^2+y^2)*6=0 $
che continua ad essere verificata per (3/5;4/5) e per (0;0)
Il mio dubbio è, in questo caso vale applicare delle modifiche alle equazioni?
Se la risposta e si il secondo problema sta nell'hessiano che per (0;0) mi risulta nullo e ho problemi a risolverlo
Li odi proprio i sistemi e si vede. Le due equazioni si possono mettere sotto tale forma:
$$10x-6\sqrt{x^2+y^2}=0,\qquad 10y(1-\sqrt{x^2+y^2})=0$$
Dalla seconda si hanno i due casi $y=0\, \sqrt{x^2+y^2}=1$ che, sostituiti nella prima conducono alle due equazioni
$$10x-6|x|=0,\qquad 10x-6=0$$
La prima ha come soluzione $x=0$, la seconda $x=3/5$. Un punto critico allora è $O(0,0)$ che tuttavia va escluso perché le due derivate non sono definite in tale punto. Sostituendo l'altro valore di $x$ nella radice si trova
$$\sqrt{\frac{9}{25}+y^2}=1\ \Rightarrow\ y^2=\frac{16}{25},\qquad y=\pm\frac{4}{5}$$
pertanto i punti critici sono
$$\left(\frac{3}{5},\pm\frac{4}{5}\right)$$
Ora calcola l'hessiano
$$10x-6\sqrt{x^2+y^2}=0,\qquad 10y(1-\sqrt{x^2+y^2})=0$$
Dalla seconda si hanno i due casi $y=0\, \sqrt{x^2+y^2}=1$ che, sostituiti nella prima conducono alle due equazioni
$$10x-6|x|=0,\qquad 10x-6=0$$
La prima ha come soluzione $x=0$, la seconda $x=3/5$. Un punto critico allora è $O(0,0)$ che tuttavia va escluso perché le due derivate non sono definite in tale punto. Sostituendo l'altro valore di $x$ nella radice si trova
$$\sqrt{\frac{9}{25}+y^2}=1\ \Rightarrow\ y^2=\frac{16}{25},\qquad y=\pm\frac{4}{5}$$
pertanto i punti critici sono
$$\left(\frac{3}{5},\pm\frac{4}{5}\right)$$
Ora calcola l'hessiano
Perdonami, ma ti chiedo ancora una volta aiuto: essendo
$ 10*sqrt(x^2+y^2)-6x-5y^2-lambda (x^2+y^2-4) $
la funzione di lagrange e di conseguenza
$ { ( 10x/sqrt(x^2+y^2)-6-2lambdax=0 ),( 10y/sqrt(x^2+y^2)-10y-2lambday=0 ),( x^2+y^2-4=0 ):} $
il sistema del gradiente, dalla terza equazione mi ricavo i valori $ x=y=+- sqrt(2) $
sostituendo i valori di x e y nelle due equazioni mi risultano due valori diversi di λ.
come procedo? non mi sono mai trovato di fronte questo caso ammesso che sia corretto risulti così.
grazie
$ 10*sqrt(x^2+y^2)-6x-5y^2-lambda (x^2+y^2-4) $
la funzione di lagrange e di conseguenza
$ { ( 10x/sqrt(x^2+y^2)-6-2lambdax=0 ),( 10y/sqrt(x^2+y^2)-10y-2lambday=0 ),( x^2+y^2-4=0 ):} $
il sistema del gradiente, dalla terza equazione mi ricavo i valori $ x=y=+- sqrt(2) $
sostituendo i valori di x e y nelle due equazioni mi risultano due valori diversi di λ.
come procedo? non mi sono mai trovato di fronte questo caso ammesso che sia corretto risulti così.
grazie
A me non sembra che la terza equazione ti stia dicendo che $x=y=+sqrt(2),-sqrt(2)$, piuttosto ti dice che $x^2 + y^2 = 4$ e vai a sostituire sopra sotto quelle radici 
quindi, dovrei sostituire il valore di x^2+y^2 cioè 4 sotto le radici delle prime due equazioni, trovarmi i valori di x e y, che contengono ancora la variabile λ e ricavare quest'ultima sostituendo i valori di x e y nella terza equazione? ho capito bene?
Sì, hai capito bene. Ma io piuttosto che usare lagrange, dal momento che so che $x^2+y^2=4,\ y^2=4-x^2$ sulla circonferenza, studierei la funzione
$$F(x)=f(x,\pm\sqrt{4-x^2})=20-6x-20+5x^2=5x^2-6x$$
$$F(x)=f(x,\pm\sqrt{4-x^2})=20-6x-20+5x^2=5x^2-6x$$
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