Aiuto con esercizio sulle serie.

[bugger]

Ciao a tutti,
stavolta mi serve aiuto nello studio del carattere di questa serie
$ sum_{n=1}^infty (n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^5) $
Come primo passo mi sono fatto il limite per vedere se la condizione neccessaria per la convergenza è soddisfatta
$ lim_{n to infty}(n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^5)=0 $ dunque tornando $0$ la condizione è soddisfatta, ma adesso come mi muovo? Con che criterio mi conviene proseguire ( e come capisco quale criterio usare? )? A sensazione mi sentirei di escludere quello della radice perchè mi sembra che viene troppo complicato...
Grazie a tutti.

[Plepp]

No, quello della radice non ti dà informazioni: il limite è $1$. Prova a usare il confronto asintotico...

[bugger]

Si al confronto asintotico ci avevo pensato anche io...ma le domande che mi sono venute sono:
Perche quello?
Con cosa lo confronto?

[totissimus]

$ln(1+x)

Cita

Segnala

[Plepp]

Perché è evidente...quel $\log$ grida "hey!!! sono qui!!! e mi comporto come $1/n^5$!". Appena concedi la tua attenzione alle parole del $\log$, ti vien da pensare: "accidenti, la frazione accanto va come $n^2$, quindi l'intero prodotto......"

[bugger]

....quindi l'intero prodotto si comporta come $1/n^3$???????

[Plepp]

Yep

[bugger]

Grande!! Grazie mille Plepp

[Plepp]

Figurati

[bugger]

Ora per fare le cose per bene volevo studiare il limite
$ lim_(n to oo ) ((n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^5))/(1/n^3) $ per controllare se le due serie hanno lo stesso carattere....
ma non mi riesce calcolare questo limite

[Noisemaker]

\begin{align}
\frac{n^3-10}{2n+1}\ln\left(1+\frac{1}{n^5}\right)\sim\frac{n^3 }{2n }\cdot \frac{1}{n^5}= \frac{1}{2n^3} ...
\end{align}

[Plepp]

E se vedi $1/n^3$ come $n^2/n^5$?

[bugger]

Scusami, mi potresti postare i passaggi?

[Plepp]

L'ha fatto Noisemaker! Oppure, una volta che scrivi $1/n^3$ come $n^2/n^5$, il termine $n^2$ lo "accorpi" al denominatore della frazione, mentre $n^5$ lo consideri insieme al $log$ e ottieni il limite notevole...

[bugger]

ma quindi questo limite
$ lim_(n to oo ) ((n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^5))/(1/n^3) $
lo posso vedere, e calcolare come
$ lim_(n to oo) ((n^3/(2n))*1/n^5)/(1/n^3 $ ??

[Plepp]

No,
\[\dfrac{n^3-10}{2n+1}\cancel{\sim} n^2\qquad \dfrac{n^3-10}{2n+1}\sim n^2/2\]
Con la scrittura $f$~$g$ s'intende che
\[\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=1\]

EDIT: ora che hai corretto va bene.

[bugger]

Dunque il limite è finito e diverso da 0, quindi la serie $1/n^3$ ha lo stesso carattere di quella di partenza, ed essendo $1/n^3$ una serie armonica con $\alpha>2$ converge, e dunque converge anche quella di partenza.
Giusto?

[Noisemaker]

...ma in generale non serve andare a fare il limite ...

[bugger]

si, era per completezza, non si sa mai i professori cosa pensano..
Grazie di tutto cmq