Aiuto con esercizio di Analisi Complessa
Buonasera a tutti, sono incappato in un esercizio che proprio non riesco a risolvere, è il seguente:
Siano $lambda in mathbb{C}$ e $z in mathbb{C} - {0}$, usando la formula di Cauchy sulla circonferenza unità si dimostri che:
$e^(1/2 lambda (z+ 1/z )) = a_0 + \sum_(n>=1)$ $a_n (z^n +1/z^n)$
dove $a_n = 1/pi \int_{0}^{pi} e^(lambda cos t) cos(nt) dt$
Suggerimento offertomi dal professore: $e^(lambda cos(t)) sin(nt)$ è una funzione dispari.
Allora, io ho impostato l'esercizio applicando al primo membro la formula di Cauchy, e successivamente sotituendo nell'integrale la parametrizzazione canonica della circonferenza unità $e^(it)$ ma parametrizzata da $t in [-pi,pi]$.
Cosi ottengo $1/(2pi i) int_{-pi}^{pi} \frac{e^(lambda cos t)}{e^(it) -z} dt$.
Qui però mi fermo, nel senso che il mio scopo è fare unscire una serie di Taylor in qualche modo, per far comparire la somma, ma ogni sforzo da qui in avanti mi fa girare in tondo senza farmi avvicinare al risultato. Ho scelto l'intervallo $[-pi,pi]$ con la speranza, alla fine, di eliminare la funzione seno grazie alla disparita e di ottenere i giusti estremi di integrazione grazie alla parità del coseno, però non riesco neppure ad eliminare l'unità immaginaria.
Altra cosa che avevo cercato di fare era semplificarmi la vita anche al secondo membro, magari scrivendo qualcosa del tipo $\sum_(n=-\infty)^(\infty)$ $a_(|n|) (z^n)$ e così ottenevo una serie di Laurant per la mia funzione centrata in 0, solo che mi sono fermato dal momento che l'esercizio vuole che segua la strada della formula di Cauchy. Avevo avuto l'idea di emulare la dimostrazione su come si arriva ai coefficenti della serie di Laurant, ma in quel caso ho bisogno di due circonferenze, inoltre gli esercizi spesso sono semplici e non richiedono tutto questo sforzo quindi evidentemente mi sto perdendo qualcosa di ovvio io, solo che ho finito le idee.
Vi prego aiutatemi
Siano $lambda in mathbb{C}$ e $z in mathbb{C} - {0}$, usando la formula di Cauchy sulla circonferenza unità si dimostri che:
$e^(1/2 lambda (z+ 1/z )) = a_0 + \sum_(n>=1)$ $a_n (z^n +1/z^n)$
dove $a_n = 1/pi \int_{0}^{pi} e^(lambda cos t) cos(nt) dt$
Suggerimento offertomi dal professore: $e^(lambda cos(t)) sin(nt)$ è una funzione dispari.
Allora, io ho impostato l'esercizio applicando al primo membro la formula di Cauchy, e successivamente sotituendo nell'integrale la parametrizzazione canonica della circonferenza unità $e^(it)$ ma parametrizzata da $t in [-pi,pi]$.
Cosi ottengo $1/(2pi i) int_{-pi}^{pi} \frac{e^(lambda cos t)}{e^(it) -z} dt$.
Qui però mi fermo, nel senso che il mio scopo è fare unscire una serie di Taylor in qualche modo, per far comparire la somma, ma ogni sforzo da qui in avanti mi fa girare in tondo senza farmi avvicinare al risultato. Ho scelto l'intervallo $[-pi,pi]$ con la speranza, alla fine, di eliminare la funzione seno grazie alla disparita e di ottenere i giusti estremi di integrazione grazie alla parità del coseno, però non riesco neppure ad eliminare l'unità immaginaria.
Altra cosa che avevo cercato di fare era semplificarmi la vita anche al secondo membro, magari scrivendo qualcosa del tipo $\sum_(n=-\infty)^(\infty)$ $a_(|n|) (z^n)$ e così ottenevo una serie di Laurant per la mia funzione centrata in 0, solo che mi sono fermato dal momento che l'esercizio vuole che segua la strada della formula di Cauchy. Avevo avuto l'idea di emulare la dimostrazione su come si arriva ai coefficenti della serie di Laurant, ma in quel caso ho bisogno di due circonferenze, inoltre gli esercizi spesso sono semplici e non richiedono tutto questo sforzo quindi evidentemente mi sto perdendo qualcosa di ovvio io, solo che ho finito le idee.
Vi prego aiutatemi
Risposte
Ciao! Francamente non saprei come usare il teorema integrale di Cauchy se non rifacendo da capo la dimostrazione della sviluppabilità in serie di Laurent. In realtà quello che hai è una funzione a primo membro e la sua serie di Laurent a secondo, però scritta in maniera un po' particolare sfruttando il fatto che $a_n = a_{-n} AA n in \mathbb{Z}$.
La cosa da dimostrare è dunque proprio che i coefficienti della serie di Laurent di $f$ sono quelli che ci vengono forniti come $a_n$ soddisfando già loro la proprietà sopracitata. Dimostriamolo (cioè è solo un conto) :
Sia $\gamma$ la circonferenza di raggio unitario centrata in $(0,0)$ e parametrizzata da $ \gamma : e^{it} \quad , t in [0; 2\pi)$; essendo soddisfatte le condizioni di sviluppabilità di $f$ in serie di Laurent con centro in $z=0$ allora i coefficienti della stessa sono:
$$a_n:=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{e^{\lambda/2 (z+1/z)}}{z^{n+1}}dz =\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi} \frac{e^{\lambda \cos(t)}}{e^{i(n+1)}} ie^{it} dt = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{\lambda \cos(t)} \cos(-nt)dt +\frac{i}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{\lambda \cos(t)} \sin(-nt)dt = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\lambda \cos(t)} \cos(nt)dt-\frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{\lambda \cos(t)} \sin(nt)dt = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\lambda \cos(t)} \cos(nt)dt $$
Attento che in alcune tue considerazioni hai dimenticato di mettere la sostituzione del $dt$ cioè quando parametrizzi scordi $ie^{it}$.
La cosa da dimostrare è dunque proprio che i coefficienti della serie di Laurent di $f$ sono quelli che ci vengono forniti come $a_n$ soddisfando già loro la proprietà sopracitata. Dimostriamolo (cioè è solo un conto) :
Sia $\gamma$ la circonferenza di raggio unitario centrata in $(0,0)$ e parametrizzata da $ \gamma : e^{it} \quad , t in [0; 2\pi)$; essendo soddisfatte le condizioni di sviluppabilità di $f$ in serie di Laurent con centro in $z=0$ allora i coefficienti della stessa sono:
$$a_n:=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{e^{\lambda/2 (z+1/z)}}{z^{n+1}}dz =\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi} \frac{e^{\lambda \cos(t)}}{e^{i(n+1)}} ie^{it} dt = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{\lambda \cos(t)} \cos(-nt)dt +\frac{i}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{\lambda \cos(t)} \sin(-nt)dt = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\lambda \cos(t)} \cos(nt)dt-\frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{\lambda \cos(t)} \sin(nt)dt = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\lambda \cos(t)} \cos(nt)dt $$
Attento che in alcune tue considerazioni hai dimenticato di mettere la sostituzione del $dt$ cioè quando parametrizzi scordi $ie^{it}$.
Ti ringrazio molto, anche io avevo pensato che quella indicata da te fosse l'unica strada. Forse il testo dell'esercizio è volutamente fuorviante? 
Volevo chiederti un dettaglio, e se dico una stupidagine mi scuso, nelle mie considerazioni non avevo inserto $ie^(it)$ perchè ricordavo dai corsi di analisi precedenti che in un integrale curvilineo quando si esegue la sostituzione bisogna sostituire il modulo della derivata prima e $|ie^(it)|=|i||e^(it)|=1|$ Però, invece, credo che tu abbia ragione. Sapresti spiegarmi come mai ho questa nefasta rimembranza? Grazie mille ancora per il tuo tempo
Volevo chiederti un dettaglio, e se dico una stupidagine mi scuso, nelle mie considerazioni non avevo inserto $ie^(it)$ perchè ricordavo dai corsi di analisi precedenti che in un integrale curvilineo quando si esegue la sostituzione bisogna sostituire il modulo della derivata prima e $|ie^(it)|=|i||e^(it)|=1|$ Però, invece, credo che tu abbia ragione. Sapresti spiegarmi come mai ho questa nefasta rimembranza? Grazie mille ancora per il tuo tempo
Definizione:
Dato un apero $\Omega \subset \mathbb{C}$, una curva $\gamma$, $\mathcal{C}^1$ a tratti in $\Omega$ e una funzione continua $f : \Omega \to \mathbb{C}$, se $\gamma : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ si definisce
$$ \int_{\gamma} f(z)dz := \int_{I} f(\gamma(t))\gamma'(t)dt $$
Hai ragionissimo, vado a vergognarmi! 
Comunque ho parlato con il professore oggi e, effettivamente, l'unico metodo è quello che pensavamo. Mi ha risposto "I coefficenti si calcolano con la formula di Cauchy!". E niente, grazie infinite
Comunque ho parlato con il professore oggi e, effettivamente, l'unico metodo è quello che pensavamo. Mi ha risposto "I coefficenti si calcolano con la formula di Cauchy!". E niente, grazie infinite
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