Aiuto comprensione limiti coordinate polari due variabili
Salve a tutti,
volevo chiedervi un aiuto su un punto di questo argomento che non mi è chiaro. L'idea di base penso di averla compresa: il calcolo dei limiti in due variabili attraverso restrizione del dominio può fornire indicazioni solo sul "candidato limite" e eventualmente fornire indicazioni sulla non esistenza del limite. Si passa dunque alle coordinate polari che consistono nell'avvicinarsi al punto di accumulazione scelto (es. x0) facendo tendere il raggio $ rho rarr 0+ $ assicurandosi l'indipendenza dalla direzione di avvicinamento $ vartheta $ . Ho capito anche che osservare l'indipendenza da $ vartheta $ non è condizione sufficiente in quanto il variare di $ vartheta $ corrisponde semplicemente ad un avvicinamento al mio punto secondo restrizioni costituite da rette variabili passanti per quel punto.
Non riesco a comprendere bene l'utilizzo del sup e dell'inf per affrancarsi da $ vartheta $...questo passaggio mi è poco chiaro anche nelle dimostrazioni. Posto qui la dimostrazione svolta dal mio professore per darvi uno spunto:
Caso(tralascio scrittura ipotesi...): $ lim_((x,y)->(x0,y0)) f(x,y) = l in R <=> lim_(rho ->0+) "sup"_(0<=vartheta <2pi)|f(x0+rhocosvartheta,y0senvartheta)-l|=0 $
Il limite esiste $ <=> AA epsilon>0 EEdelta>0:0 |f(x0+rhocosvartheta,y0senvartheta)-l|
Il che equivale a dire che $ "sup"_(0<=vartheta <2pi)|f(x0+rhocosvartheta,y0+senvartheta)-l|
Quindi il limite esiste $ <=> lim_(rho->0) "sup"_vartheta|f(x0+rhocosvartheta,y0senvartheta)-l|=0 $
Definendo $ g(rho):= "sup"_vartheta|f(x0+rhocosvartheta,y0senvartheta)-l|$
Se $ g(rho) $ tende a zero allora il limite sarà zero.
Mi è tutto chiaro, compreso l'uso di $ g(rho) $ tendente a zero. Non capisco sinceramente l'uso del sup e, nel caso del limite uguale a $ +oo $, dell'inf.
Vi ringrazio
volevo chiedervi un aiuto su un punto di questo argomento che non mi è chiaro. L'idea di base penso di averla compresa: il calcolo dei limiti in due variabili attraverso restrizione del dominio può fornire indicazioni solo sul "candidato limite" e eventualmente fornire indicazioni sulla non esistenza del limite. Si passa dunque alle coordinate polari che consistono nell'avvicinarsi al punto di accumulazione scelto (es. x0) facendo tendere il raggio $ rho rarr 0+ $ assicurandosi l'indipendenza dalla direzione di avvicinamento $ vartheta $ . Ho capito anche che osservare l'indipendenza da $ vartheta $ non è condizione sufficiente in quanto il variare di $ vartheta $ corrisponde semplicemente ad un avvicinamento al mio punto secondo restrizioni costituite da rette variabili passanti per quel punto.
Non riesco a comprendere bene l'utilizzo del sup e dell'inf per affrancarsi da $ vartheta $...questo passaggio mi è poco chiaro anche nelle dimostrazioni. Posto qui la dimostrazione svolta dal mio professore per darvi uno spunto:
Caso(tralascio scrittura ipotesi...): $ lim_((x,y)->(x0,y0)) f(x,y) = l in R <=> lim_(rho ->0+) "sup"_(0<=vartheta <2pi)|f(x0+rhocosvartheta,y0senvartheta)-l|=0 $
Il limite esiste $ <=> AA epsilon>0 EEdelta>0:0
Il che equivale a dire che $ "sup"_(0<=vartheta <2pi)|f(x0+rhocosvartheta,y0+senvartheta)-l|
Quindi il limite esiste $ <=> lim_(rho->0) "sup"_vartheta|f(x0+rhocosvartheta,y0senvartheta)-l|=0 $
Definendo $ g(rho):= "sup"_vartheta|f(x0+rhocosvartheta,y0senvartheta)-l|$
Se $ g(rho) $ tende a zero allora il limite sarà zero.
Mi è tutto chiaro, compreso l'uso di $ g(rho) $ tendente a zero. Non capisco sinceramente l'uso del sup e, nel caso del limite uguale a $ +oo $, dell'inf.
Vi ringrazio
Risposte
Il passaggio all'estremo superiore serve, in un certo senso, a garantire che vai a zero "con la stessa velocità" su tutte le semirette uscenti da \((x_0,y_0)\).
Detto alla buona, se non prendessi l'estremo superiore ma richiedessi semplicemente che:
\[
\forall \theta\in [0,2\pi[,\quad \lim_{\rho \to 0} |f(x_0+\rho \cos \theta , y_0+\rho \sin \theta) -l|=0
\]
potresti, in linea di principio, scegliere su ogni semiretta uscente da \((x_0,y_0)\) (ossia per ogni \(\theta\)) almeno un punto che rimane sufficientemente distante da \(l\), e ciò manderebbe all'aria la definizione di limite.
Detto alla buona, se non prendessi l'estremo superiore ma richiedessi semplicemente che:
\[
\forall \theta\in [0,2\pi[,\quad \lim_{\rho \to 0} |f(x_0+\rho \cos \theta , y_0+\rho \sin \theta) -l|=0
\]
potresti, in linea di principio, scegliere su ogni semiretta uscente da \((x_0,y_0)\) (ossia per ogni \(\theta\)) almeno un punto che rimane sufficientemente distante da \(l\), e ciò manderebbe all'aria la definizione di limite.
Salve a tutti! Rianimo questo post che avevo scritto ad ottobre per essere sicuro di aver compreso fino in fondo l'argomento.
Innanzitutto chiedo venia a gugo per non averlo ringraziato della sua rapidissima risposta all'epoca!
Lo faccio ora 
Ritornando sull'argomento io ho interpretato il tutto così...se l'estremo superiore assume un valore inferiore a epsilon sicuramente nessun altro valore potrà infrangere il <, quindi scelgo il sup e ottengo due vantaggi:
- la certezza che se la condizione con il sup è soddisfatta lo sarà anche per gli altri valori di theta
- mi affranco dalla variabile theta quanto vado poi a calcolare il limite vero e proprio ottenendo così il limite in una sola variabile.
Non sono riuscito però a capire il discorso di gugo..io faccio tendere ro a zero quindi perchè potrei scegliere un punto distante da l?
Grazie ancora
Innanzitutto chiedo venia a gugo per non averlo ringraziato della sua rapidissima risposta all'epoca!
Lo faccio ora Ritornando sull'argomento io ho interpretato il tutto così...se l'estremo superiore assume un valore inferiore a epsilon sicuramente nessun altro valore potrà infrangere il <, quindi scelgo il sup e ottengo due vantaggi:
- la certezza che se la condizione con il sup è soddisfatta lo sarà anche per gli altri valori di theta
- mi affranco dalla variabile theta quanto vado poi a calcolare il limite vero e proprio ottenendo così il limite in una sola variabile.
Non sono riuscito però a capire il discorso di gugo..io faccio tendere ro a zero quindi perchè potrei scegliere un punto distante da l?
Grazie ancora
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