Aiuto completamento esercizio geometria e algebra?

[alepinkstar]

In R3[x] = {f(x) ∈ R[x] : gr (f) ≤ 3} si considerino i sottospazi:
U = L([f(x) = 1+2x+3 x^2 ; g(x) = 1 + x + x^2 + x^3]) e
W = L([h(x) = 1 + 3x + 5x^2 ; k(x) = 2 x^3]).

1)Determinare U+W e una sua base; tale somma è diretta?
2) Completare la base di U+W a una base di R3[x]

allora fatto una matrice composta dai vari sottospazi

1 3 5 0
0 0 02
1 2 3 0
1 1 1 1

la dim =3 tramite grassman so che non è una somma diretta. ora come faccio a determinare una base di U+W? e come la completo?

grazie mille dell'aiuto

[eleo]

Sposto in Matematica :)

[ciampax]

Gli spazi

[math]U,\ V[/math]

risultano entrambi di dimensione 2, dal momento che i polinomi che li generano sono indipendenti. Per determinare la base della somma ed, eventualmente, anche una sua intersezione, risolviamo il seguente sistema:

[math]a\cdot f(x)+b\cdot g(x)=c\cdot h(x)+d\cdot k(x)[/math]

Uguagliando i coefficienti dei termini con lo stesso grado si ha

[math]a+b=c,\ 2a+b=3c,\ 3a+b=5c,\ b=2d[/math]

Risolvendo si ottiene:

[math]a=-4d,\ b=2d,\ c=-2d,\ d\in\mathbb{R}[/math]

, per cui

[math]U\cap W=L(x^3-5x^2-3x-1)[/math]

Per Grassman:

[math]\dim(U+W)=2+2-1=3[/math]

pertanto per determinare una base dello spazio somma basta scegliere tre tra i quattro polinomi generatori f,g,h,k linearmente indipendenti. A questo punto, per completare a base di tutto lo spazio ambiente, basta selezionare un nuovo polinomio che risulti indipendente da quelli che hai usato come base per U+W.