Aiuto compito teoria di analisi
allora ragazzi devo ringraziare anticipatamente chi mi ha dato risposte al mio precedente post in quanto mi ha permesso di superare lo scritto di analisi!
Ora siamo alle finali...la teoria!
diciamo che i fondamenti ci sono però non so se sia tutto giusto il mio modo di pensare...porgo qui alcune domande che mi hanno lasciato qualche dubbio, e quali le mie risposte!correggetemi se erro:
- cosa significa $ lim_(x -> -oo) f(x)= 3+ $
per me questo è un asintoto orizzontale però non capisco cosa possa significare quel 3+, voi cosa ne pensate?
- cosa significa $ sum_(n = 6)^( +oo) an= -oo $ ?
in questo caso posso dire che la serie in questione non è convergente e che inoltre la successione an è illimitata inferiormente il cui inf è= -oo e poi? devo aggiungere altro?perchè altrimenti non so!
Ma soprattutto è giusto quello che ho scritto?
Ora siamo alle finali...la teoria!
diciamo che i fondamenti ci sono però non so se sia tutto giusto il mio modo di pensare...porgo qui alcune domande che mi hanno lasciato qualche dubbio, e quali le mie risposte!correggetemi se erro:
- cosa significa $ lim_(x -> -oo) f(x)= 3+ $
per me questo è un asintoto orizzontale però non capisco cosa possa significare quel 3+, voi cosa ne pensate?
- cosa significa $ sum_(n = 6)^( +oo) an= -oo $ ?
in questo caso posso dire che la serie in questione non è convergente e che inoltre la successione an è illimitata inferiormente il cui inf è= -oo e poi? devo aggiungere altro?perchè altrimenti non so!
Ma soprattutto è giusto quello che ho scritto?
Risposte
Per la prima domanda
sì, la funzione $f(x)$ si avvicina asintoticamente alla retta $y = 3$ da sopra (quel $3^+$ dovrebbe indicare questo).
Per esempio $lim_(x -> -oo ) e^x = 0^+$
Però è un'informazione che non mi sembra di estrema importanza; molti non usano questa notazione.
"chikko04":
- cosa significa $ lim_(x -> -oo) f(x)= 3+ $
per me questo è un asintoto orizzontale però non capisco cosa possa significare quel 3+, voi cosa ne pensate?
sì, la funzione $f(x)$ si avvicina asintoticamente alla retta $y = 3$ da sopra (quel $3^+$ dovrebbe indicare questo).
Per esempio $lim_(x -> -oo ) e^x = 0^+$
Però è un'informazione che non mi sembra di estrema importanza; molti non usano questa notazione.
Riguardo la serie, volevi scrivere $a_n$? Oppure a è una costante?
Immagino la prima: occhio che non è detto che sia una successione che tende a $-oo$. E' la successione delle somme parziali che lo fa.
Ossia, $lim_{k->+oo} \sum_{n=1}^ka_n=-oo$
Ad esempio, $\sum_{n=1}^{oo}(-1)=-oo$ anche se la successione è costante. La successione delle somme parziali è $b_k=\sum_{n=1}^k(-1)=-k$ che infatti ha come limite $-oo$.
Immagino la prima: occhio che non è detto che sia una successione che tende a $-oo$. E' la successione delle somme parziali che lo fa.
Ossia, $lim_{k->+oo} \sum_{n=1}^ka_n=-oo$
Ad esempio, $\sum_{n=1}^{oo}(-1)=-oo$ anche se la successione è costante. La successione delle somme parziali è $b_k=\sum_{n=1}^k(-1)=-k$ che infatti ha come limite $-oo$.
ti ringrazio della risposta sulle serie, hai ragione 
un altro quesito dice:
- trovare tre costanti a,b,c tali che:
$ e^{3x}= a+b(x-1)+ c(x-1)^2 + o(x-1)^2 $ per x-->1
la prima cosa che mi è venuta in mente è stata sviluppare il polinomio di taylor in x=1 con costanti a,b,c uguali rispettivamente a:
$ e^{3},3e^{3},6e^{3} $ voi che dite può passare?
- trovare un intervallo diverso da [0,pi] dove invertire la funzione cos(x) e descrivere la sua inversa così ottenuta.
per me una funzione è invertibile in un intervallo [a,b] dove questa risulta essere biunivoca, nel nostro caso se non vuole l'intervallo [0,pi] vado in quello subito successivo ovvero [pi,2pi] però mi sembra banale come risposta!Inoltre non so come interpretare la domanda: descrivere la sua inversa così ottenuta...
ottengo un arcsen(x) il cui valore oscilla tra [-1,1] e poi?cosa potrei aggiungere?che è strettamente decrescente?
-sia f: [0,4]-->R definita da:
f(x)= 1 se $ x in (0,2)
f(x)=3 se $ x in (2,3)
f(x) = 0 se $ x in (3,4)
dire se f è Riemann integrabile e calcolare l'integrale F(x)= $ int_(a)^(b) f(t)dt $
sempre per dire la mia la funzione è Riemann integrabile se questa è limitata quindi ok!
poi deve essere che le somme integrali superiori e quelle inferiori devono coincidere, visto come strutturata la funzione considero dei sotto intervalli definiti proprio come varia la funzione e secondo me così risulta essere Riemann integrabile,essendo costante il valore nell'intervallo per forza sup ed inf sono uguali.
Per quanto riguarda di calcolare l'integrale, bè direi che per il calcolo sempre considerando quei sotto intervalli ove essa risulta continua l'integrale è proprio il valore della funzione stessa per il teorema fondamentale del calcolo integrale, però non so se la continuità richiesta dal teorema è limitante o meno in questo caso!
Aiuto!
ovviamente correggetemi se erro...
un altro quesito dice:
- trovare tre costanti a,b,c tali che:
$ e^{3x}= a+b(x-1)+ c(x-1)^2 + o(x-1)^2 $ per x-->1
la prima cosa che mi è venuta in mente è stata sviluppare il polinomio di taylor in x=1 con costanti a,b,c uguali rispettivamente a:
$ e^{3},3e^{3},6e^{3} $ voi che dite può passare?
- trovare un intervallo diverso da [0,pi] dove invertire la funzione cos(x) e descrivere la sua inversa così ottenuta.
per me una funzione è invertibile in un intervallo [a,b] dove questa risulta essere biunivoca, nel nostro caso se non vuole l'intervallo [0,pi] vado in quello subito successivo ovvero [pi,2pi] però mi sembra banale come risposta!Inoltre non so come interpretare la domanda: descrivere la sua inversa così ottenuta...
ottengo un arcsen(x) il cui valore oscilla tra [-1,1] e poi?cosa potrei aggiungere?che è strettamente decrescente?
-sia f: [0,4]-->R definita da:
f(x)= 1 se $ x in (0,2)
f(x)=3 se $ x in (2,3)
f(x) = 0 se $ x in (3,4)
dire se f è Riemann integrabile e calcolare l'integrale F(x)= $ int_(a)^(b) f(t)dt $
sempre per dire la mia la funzione è Riemann integrabile se questa è limitata quindi ok!
poi deve essere che le somme integrali superiori e quelle inferiori devono coincidere, visto come strutturata la funzione considero dei sotto intervalli definiti proprio come varia la funzione e secondo me così risulta essere Riemann integrabile,essendo costante il valore nell'intervallo per forza sup ed inf sono uguali.
Per quanto riguarda di calcolare l'integrale, bè direi che per il calcolo sempre considerando quei sotto intervalli ove essa risulta continua l'integrale è proprio il valore della funzione stessa per il teorema fondamentale del calcolo integrale, però non so se la continuità richiesta dal teorema è limitante o meno in questo caso!
Aiuto!
ovviamente correggetemi se erro...
Una cosa alla volta 
Partiamo dal primo quesito: si ha $e^y = e^(y_0) + e^(y_0)(y-y_0) + (e^(y_0)(y-y_0)^2)/2 + o(y-y_0)^2$ dove si è tenuto conto del fatto che la funzione esponenziale è uguale alla propria derivata.
A questo punto basta porre $y=3x$ e ottieni che $y to 3x_0$ per $x to x_0$
Quindi, i primi due coefficienti sono giusti, ma il terzo mi viene $c=9/2e^3$.
Spero di non aver sbagliato nulla xD
Partiamo dal primo quesito: si ha $e^y = e^(y_0) + e^(y_0)(y-y_0) + (e^(y_0)(y-y_0)^2)/2 + o(y-y_0)^2$ dove si è tenuto conto del fatto che la funzione esponenziale è uguale alla propria derivata.
A questo punto basta porre $y=3x$ e ottieni che $y to 3x_0$ per $x to x_0$
Quindi, i primi due coefficienti sono giusti, ma il terzo mi viene $c=9/2e^3$.
Spero di non aver sbagliato nulla xD
hai ragione sull'ultimo termine, grazie della correzione!
Scusami se ti rispondo a puntate, ma sono un po' impegnato in questo momento
Comunque, il secondo quesito mi sembra corretto. Se restringi la funzione coseno: $cos: [\pi,2\pi] to [-1,1]$ ottieni, per la continuità e la monotonia nell'intervallo, una funzione invertibile: $arccos': [-1,1] to [\pi,2\pi]$.
Sì, se vuoi, puoi dire che la sua inversa è monotona. Però, proprio per la sua monotonia, non direi che la funzione "oscilla" in quell'intervallo. Piuttosto "varia"
Per il resto, non saprei che dire. Al massimo puoi dire che la funzione che consideri è una traslazione di quella che solitamente si considera come $arccos$
EDIT: scusami, non è ottenibile soltanto mediante traslazione, ma dopo devi effettuare una riflessione rispetto all'asse y. Inoltre è monotona strettamente crescente (pensa alla circonferenza goniometrica: se fai girare il punto da $\pi$ verso $2\pi$, la sua proiezione sulle ascisse si muove in verso crescente)
Comunque, il secondo quesito mi sembra corretto. Se restringi la funzione coseno: $cos: [\pi,2\pi] to [-1,1]$ ottieni, per la continuità e la monotonia nell'intervallo, una funzione invertibile: $arccos': [-1,1] to [\pi,2\pi]$.
Sì, se vuoi, puoi dire che la sua inversa è monotona. Però, proprio per la sua monotonia, non direi che la funzione "oscilla" in quell'intervallo. Piuttosto "varia"
Per il resto, non saprei che dire. Al massimo puoi dire che la funzione che consideri è una traslazione di quella che solitamente si considera come $arccos$
EDIT: scusami, non è ottenibile soltanto mediante traslazione, ma dopo devi effettuare una riflessione rispetto all'asse y. Inoltre è monotona strettamente crescente (pensa alla circonferenza goniometrica: se fai girare il punto da $\pi$ verso $2\pi$, la sua proiezione sulle ascisse si muove in verso crescente)
Antimus non so come ringraziarti davvero, mi stai levando molti dubbi!
La storia dell'integrale può andare se dico più semplicemente che per l'integrale secondo riemann è richiesto solo che l'intervallo sia chiuso e limitato e non la continuità della funzione?e posso integrare per via dell'additività dell'integrale avendo poi comunque un numero finito di discontinuità nell'intervallo di 1a specie? se si perchè?so che esiste un teorema simile ma non conosco il nome!
La storia dell'integrale può andare se dico più semplicemente che per l'integrale secondo riemann è richiesto solo che l'intervallo sia chiuso e limitato e non la continuità della funzione?e posso integrare per via dell'additività dell'integrale avendo poi comunque un numero finito di discontinuità nell'intervallo di 1a specie? se si perchè?so che esiste un teorema simile ma non conosco il nome!
Mi sembra che quella funzione inversa sia $g(x)=2pi-arccos(x)$, con l'arcocoseno abituale.
EDIT: oppure, $pi+arccos(-x)$ che è la stessa cosa. Forse così si vede meglio.
EDIT: oppure, $pi+arccos(-x)$ che è la stessa cosa. Forse così si vede meglio.
Sì, è vero, infatti traslazione+simmetria . Ho corretto su e ho messo un apostrofo alla funzione inversa che ho definito, per distinguerla da quella usuale.
@chikko04: di niente Comunque, per l'integrale, non è definito un valore della funzione per gli estremi dei tre intervalli aperti? Comunque, sì, la teoria di integrazione secondo Riemann si basa su intervalli chiusi e limitati. Basta poi calcolare somme superiori e inferiori e vedere che coincidono quando il diametro delle partizioni tende a 0, cioè "quando le partizioni diventano sempre più fini". Non è difficile visto che sono tre rettangoli, di cui il terzo è degenere su un segmento
Però, mi rimane il dubbio su come vanno trattati gli estremi di quegli intervalli. Cioè, il fatto è che se è definita in quei tre intervalli aperti, non è discontinua agli estremi, non è proprio definita!
Non dovrebbe essere un grande problema, visto che è costante in quei tratti, però ti conviene aspettare che qualcun altro ti risponda meglio, perché intuitivamente ci arrivo che è l'additività che entra in gioco, ma ho queste incertezze.
. Ho corretto su e ho messo un apostrofo alla funzione inversa che ho definito, per distinguerla da quella usuale.@chikko04: di niente
Comunque, per l'integrale, non è definito un valore della funzione per gli estremi dei tre intervalli aperti? Comunque, sì, la teoria di integrazione secondo Riemann si basa su intervalli chiusi e limitati. Basta poi calcolare somme superiori e inferiori e vedere che coincidono quando il diametro delle partizioni tende a 0, cioè "quando le partizioni diventano sempre più fini". Non è difficile visto che sono tre rettangoli, di cui il terzo è degenere su un segmento Però, mi rimane il dubbio su come vanno trattati gli estremi di quegli intervalli. Cioè, il fatto è che se è definita in quei tre intervalli aperti, non è discontinua agli estremi, non è proprio definita!
Non dovrebbe essere un grande problema, visto che è costante in quei tratti, però ti conviene aspettare che qualcun altro ti risponda meglio, perché intuitivamente ci arrivo che è l'additività che entra in gioco, ma ho queste incertezze.
non lo so se potrà essere utile a qualcuno però cercando un po' nel web ho trovato questo file...
http://www.aero.polimi.it/~lastaria/bac ... _nuovo.pdf
la funzione è integrale secondo riemann per via di un teorema che sta a pag 4, l'1.8, credo sia fattibile!
Per quanto ho capito essendoci un numero limitato di discontinuità il valore della f non cambia!
http://www.aero.polimi.it/~lastaria/bac ... _nuovo.pdf
la funzione è integrale secondo riemann per via di un teorema che sta a pag 4, l'1.8, credo sia fattibile!
Per quanto ho capito essendoci un numero limitato di discontinuità il valore della f non cambia!
Il fatto è che l'integrale in un punto è nullo: $int_{a}^(a) f(x)dx = 0$, quindi se tu salti quei punti non succede niente nell'integrazione, perché comunque sommeresti qualcosa di nullo. Il teorema mi sembra valga anche se l'insieme di punti sia numerabile. Quindi va bene sfruttare questo fatto.
Il mio dubbio è però sul testo dell'esercizio: non riesco a capire se la funzione è discontinua in quei punti o non è proprio definita. Nel primo caso, va bene applicare quel teorema
Il mio dubbio è però sul testo dell'esercizio: non riesco a capire se la funzione è discontinua in quei punti o non è proprio definita. Nel primo caso, va bene applicare quel teorema
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