Aiuto carattere delle serie!!
Ho un problema con lo studio del carattere di queste 2 serie
la prima è:
$ sum_(n=1)^oo p/2 -arcsin(n/(n+1) ) $
(quella p è un pgreco)
la seconda va studiata al variare di h ed è:
$ sum_(n=1)^oo sqrt(n^(4)+4n^(h) ) -n^2 $
Non so davvero da dove cominciare. Cioè verificare la condizione necessaria è facile (nel secondo h deve essere minore di 4) ma poi non ho idea di come si dimostri la convergenza o meno.
la prima è:
$ sum_(n=1)^oo p/2 -arcsin(n/(n+1) ) $
(quella p è un pgreco)
la seconda va studiata al variare di h ed è:
$ sum_(n=1)^oo sqrt(n^(4)+4n^(h) ) -n^2 $
Non so davvero da dove cominciare. Cioè verificare la condizione necessaria è facile (nel secondo h deve essere minore di 4) ma poi non ho idea di come si dimostri la convergenza o meno.
Risposte
Per quanto riguarda la prima serie puoi applicare il criterio di Cauchy in quanto la successione è >= 0, decrescente e la C.N. è verificata:
$ sum_(n=1)^(oo )2^(n)(p/2-arcsin(2^(n)/(2^(n)+1))) = sum_(n=1)^(oo )2^(n-1)(p) - 2^(n)(arcsin(2^(n)/(2^(n)+1)))) $
Quindi con usando il criterio del rapporto si ha:
$ lim_(n -> +oo )(2^(n)(p)-(2^(n+1))arcsin(2^(n+1)/(2^(n+1)+1)))/(2^(n-1)(p)-(2^(n))arcsin(2^(n)/(2^(n)+1))) = lim_(n -> +oo ) (2^(n))/(2^(n-1)) * (((p)-2arcsin(2^(n+1)/(2^(n+1)+1)))/((p)-2arcsin(2^(n)/(2^(n)+1)))) = lim_(n -> +oo ) (2^(n))/(2^(n-1)) * (((p)-2arcsin(2^(n)/(2^(n)+1)))/((p)-2arcsin(2^(n)/(2^(n)+1))))= $
$ lim_(n -> +oo ) (2^(n))/(2^(n-1)) = 2 $
Dunque la serie converge.
Penso possa essere una strada anche se sono uno studente anche io e non so dirti per certo se è giusta xD
$ sum_(n=1)^(oo )2^(n)(p/2-arcsin(2^(n)/(2^(n)+1))) = sum_(n=1)^(oo )2^(n-1)(p) - 2^(n)(arcsin(2^(n)/(2^(n)+1)))) $
Quindi con usando il criterio del rapporto si ha:
$ lim_(n -> +oo )(2^(n)(p)-(2^(n+1))arcsin(2^(n+1)/(2^(n+1)+1)))/(2^(n-1)(p)-(2^(n))arcsin(2^(n)/(2^(n)+1))) = lim_(n -> +oo ) (2^(n))/(2^(n-1)) * (((p)-2arcsin(2^(n+1)/(2^(n+1)+1)))/((p)-2arcsin(2^(n)/(2^(n)+1)))) = lim_(n -> +oo ) (2^(n))/(2^(n-1)) * (((p)-2arcsin(2^(n)/(2^(n)+1)))/((p)-2arcsin(2^(n)/(2^(n)+1))))= $
$ lim_(n -> +oo ) (2^(n))/(2^(n-1)) = 2 $
Dunque la serie converge.
Penso possa essere una strada anche se sono uno studente anche io e non so dirti per certo se è giusta xD
La serie è a termini positivi (quindi o converge o diverge a $+\infty$).
Puoi verificare, usando ad esempio la regola di l'Hopital, che
$\lim_{x\to 1^-} \frac{\frac{\pi}{2}-\arcsin(x)}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{2}$.
Poiché $\frac{n}{n+1} = 1- \frac{1}{n+1}$, posto $b_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ abbiamo che
$\lim_n \frac{\frac{\pi}{2}-\arcsin(1- \frac{1}{n+1})}{b_n} = \sqrt{2}$.
Per il criterio del confronto asintotico la serie di partenza ha lo stesso carattere di $\sum_n b_n$, che è divergente (è una serie armonica generalizzata di esponente $1/2$).
Puoi verificare, usando ad esempio la regola di l'Hopital, che
$\lim_{x\to 1^-} \frac{\frac{\pi}{2}-\arcsin(x)}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{2}$.
Poiché $\frac{n}{n+1} = 1- \frac{1}{n+1}$, posto $b_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ abbiamo che
$\lim_n \frac{\frac{\pi}{2}-\arcsin(1- \frac{1}{n+1})}{b_n} = \sqrt{2}$.
Per il criterio del confronto asintotico la serie di partenza ha lo stesso carattere di $\sum_n b_n$, che è divergente (è una serie armonica generalizzata di esponente $1/2$).
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