Aiuto carattere della serie
Salve raga... mi esercito sulle serie ed ho qualche dubbio... partiamo dalla prima serie:
\(\sum_{1}^{\infty}{\frac{3^{-2n}}{n!n^2}}\)
applico il criterio del rapporto ed ottengo:
\(\lim_{n\to \infty}{\frac{3^{-2n} 3}{(n+1)n!n^2n} \frac{n!n^2}{3^{-2n}}}\)
facendo le dovute semplificazioni rimane:
\(\lim_{n\to \infty}{\frac{3}{n^2+n} }=0\) dunque la serie converge, giusto?
Invece ho problemi con queste altre serie, allora:
1) \(\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^3+logn}}\) --------> al denominatore si lascia solo \(n^3\)??
2) \(\sum_{1}^{\infty}{\frac{2^n+3^n}{n^{2n}}}\) --------> applico il criterio della radice? In che modo? poichè \(2^n+3^n\) non è lo stesso che \((2+3)^n\) giusto? Per caso diventa:
\(\lim_{n\to \infty}{ \frac{5}{n^2}}=0\) e dunque convergente?
3) \(\sum_{1}^{\infty}{\frac{logn+\sqrt{n}}{logn+n^4}}\)----------> Su questa sono un pò più in palla...
Aiuto!! Grazie!!
\(\sum_{1}^{\infty}{\frac{3^{-2n}}{n!n^2}}\)
applico il criterio del rapporto ed ottengo:
\(\lim_{n\to \infty}{\frac{3^{-2n} 3}{(n+1)n!n^2n} \frac{n!n^2}{3^{-2n}}}\)
facendo le dovute semplificazioni rimane:
\(\lim_{n\to \infty}{\frac{3}{n^2+n} }=0\) dunque la serie converge, giusto?
Invece ho problemi con queste altre serie, allora:
1) \(\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^3+logn}}\) --------> al denominatore si lascia solo \(n^3\)??
2) \(\sum_{1}^{\infty}{\frac{2^n+3^n}{n^{2n}}}\) --------> applico il criterio della radice? In che modo? poichè \(2^n+3^n\) non è lo stesso che \((2+3)^n\) giusto? Per caso diventa:
\(\lim_{n\to \infty}{ \frac{5}{n^2}}=0\) e dunque convergente?
3) \(\sum_{1}^{\infty}{\frac{logn+\sqrt{n}}{logn+n^4}}\)----------> Su questa sono un pò più in palla...
Aiuto!! Grazie!!
Risposte
Mi par che il criterio del confronto asintotico sarebbe utile in tutti:
volendo sul secondo quello della radice và meglio,a patto di verificare che $EE lim_(n to +oo)(2^n+3^n)^(1/n)=.. ne +oo$..
Saluti dal web.
volendo sul secondo quello della radice và meglio,a patto di verificare che $EE lim_(n to +oo)(2^n+3^n)^(1/n)=.. ne +oo$..
Saluti dal web.
"theras":
Mi par che il criterio del confronto asintotico sarebbe utile in tutti:
volendo sul secondo quello della radice và meglio,a patto di verificare che $EE lim_(n to +oo)(2^n+3^n)^(1/n)=.. ne +oo$..
Saluti dal web.
Grazie della risposta!!! Però visto che finora non avevo incontrato i logaritmi, potresti dirmi come si fa il confronto asintotico tra il logn e la radice di n? Grazie mille
Devo sempre fare il lim per n che tende ad infinito del rapporto?
"theras":
Mi par che il criterio del confronto asintotico sarebbe utile in tutti
In particolare, nella prima che sembra un'imprecazione matematica
"steppox":
Salve raga... mi esercito sulle serie ed ho qualche dubbio... partiamo dalla prima serie:
\( \sum_{1}^{\infty}{\frac{3^{-2n}}{n!n^2}} \)
Se prendiamo l'argomento della serie, considerando $n\ge 1$
$\frac{3^(-2n)}{n! n^2}\le \frac{1}{n! n^2} \le \frac{1}{n^2}$
poiché - ricordando $n\ge 1$ - si ha $3^(-2n)\le1$ e, in seguito $n!\ge 1$.
Non credo sia asintotico come confronto, ma è pur sempre un confronto e ricordo il teorema (che ho visto sul Calculus dell'Apostol, ma che dovrebbe stare ovunque) che dice, in parole povere, che "se $0\le a_n \le b_n$ per ogni $n$ allora se converge $\sum b_n$ converge anche $\sum a_n$.
"steppox":
Devo sempre fare il lim per n che tende ad infinito del rapporto?
Nell'utilizzare un qualsiasi criterio devi fare il limite per $n->+\infty$, no?
"Zero87":
[quote="theras"]Mi par che il criterio del confronto asintotico sarebbe utile in tutti
In particolare, nella prima che sembra un'imprecazione matematica
"steppox":[/quote]
Salve raga... mi esercito sulle serie ed ho qualche dubbio... partiamo dalla prima serie:
\( \sum_{1}^{\infty}{\frac{3^{-2n}}{n!n^2}} \)
Se prendiamo l'argomento della serie, considerando $n\ge 1$
$\frac{3^(-2n)}{n! n^2}\le \frac{1}{n! n^2} \le \frac{1}{n^2}$
poiché - ricordando $n\ge 1$ - si ha $3^(-2n)\le1$ e, in seguito $n!\ge 1$.
Non credo sia asintotico come confronto, ma è pur sempre un confronto e ricordo il teorema (che ho visto sul Calculus dell'Apostol, ma che dovrebbe stare ovunque) che dice, in parole povere, che "se $0\le a_n \le b_n$ per ogni $n$ allora se converge $\sum b_n$ converge anche $\sum a_n$.
Allora... innanzitutto ti ringrazio per la risposta
Per quanto riguarda la serie dell'imprecazione
hai ragioneil criterio del confronto (non quello asintotico) ha come presupposto che \(a_{n}\leq b_{n}\) deve valere DEFINITIVAMENTE, cioè non necessariamente per ogni valore di n, ma anche da un certo punto in poi (nel nostro caso maggiore o uguale a 1). Era il definitivamente che mi era sfuggito, dunque grazie.
Passiamo al next problem
Siccome coi limiti ho molti limiti (scusate il gioco di parole)
\(\sum_{1}^{\infty}{\frac{logn+\sqrt{n}}{logn+n^4}}\)
Volendo applicare il criterio del confronto asintotico possiamo eliminare da numeratore e denominatore gli infiniti di ordine inferiore. Dunque per stabilire quali sono gli infiniti di ordine superiore va fatto, per il numeratore:
\(\lim_{n\to \infty}{ \frac{logn}{\sqrt{n}}}\)
Per il denominatore:
\(\lim_{n\to \infty}{ \frac{logn}{n^4}}\)
è giusto? Supponendo di si... come procedo? Ripeto che i limiti sono il mio tallone di achille
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