Aiuto calcolo integrale

[dna881]

Vi posto un problema molto semplice che attualmente però non sono ancora riuscito a risolvere perchè mi manca probabilmente un passaggio

$ int((log^2x)/(x)) $

Io avrei pensato di isolare $1/x$ e $log^2x$ e poi integrare per parti. Ma non riesco mai a finire "la catena" perchè non ottengo il risultato dell'esercizio ovvero: $1/3*log^3x +c$

[qwert90]

allora $\int(log^2(x))/(x)dx= logx*log^2x - \intlog(x)*D(log^2x)dx$

ottieni: $log^3(x) -2\int(log^2(x))/xdx = \int(log^2(x))/(x)dx $
$\int(log^2(x))/(x)dx = (log^3(x))/(3) +c$

in pratica al primo passaggio devi considerare $1/x$ come derivata di $logx$

tt chiaro?

[dna881]

uhm... io di solito li risolvo per parti trovando

f(x) e f'(x) e g(x) e g'(x) ===> f(x)*g(x) - integrale di ( f'(x)*g(x) )

con il tuo metodo non riesco a capirla.. ma ora provo a riscrivermela con calma

[qwert90]

rileggi il mio post precedente ,
ho commesso un errrore di trascrizione prima...
ora penso sia piu chiaro...
ho corretto l'erore avevo dinenticato l'apice al logaritmo
anche io ho applicato la regola di integrazione per parti...

[dna881]

quindi che hai scelto come g(x) ? in maniera estesa che sono uno zuccone

f(x) = $log(x)$ f'(x) = $1/x$
g(x) = ????? g'(x) = $log^2x$

[qwert90]

$\intlog^2(x)*(1/x)dx = log^2(x) *\int(1)/(x)dx $ ecco il primo passaggio in maniera piu chiara...
diciamo che ho lasciato intatta la funzione $log^2x$ che vado a derivare invece dopo nell'integrale successivo mentre ho "trasformato" $1/x$ che integrata diventa $logx$

[pater46]

"qwert90":$\intlog^2(x)*(1/x)dx = log^2(x) *\int(1)/(x)dx $

momento momento momento momento momento momento momento.. questo passaggio non è corretto!


Quell'integrale è un integrale praticamente notevole! Si nota più chiaramente considerando:

$ int log^2x * 1/x dx = int log^2x (logx)' dx = int log^2x dlogx = (log^3x)/3 $

[qwert90]

@pater46 : nel post scritto prima io ho riportato solo il primissimo passaggio per farlo capire meglio a dna88... non era di certo tutto l'integrale ...
il procedimento per intero è questo e l'ho scritto anche nel mio primo post...

$\int(log^2(x))/(x)dx= logx*log^2x - \intlog(x)*D(log^2x)dx$

ottieni: $log^3(x) -2\int(log^2(x))/xdx = \int(log^2(x))/(x)dx $
$\int(log^2(x))/(x)dx = (log^3(x))/(3) +c$
ed ho applicato l'integrazione per parti

[dna881]

allora riassumendo con il mio ragionamento:

f(x) = $log^2x$ f'(x) = $2/x * logx$

g(x) = $logx$ g'(x) = $1/x$

e quindi integrando per parti ottengo:

$log^x*logx -2 int (logx / x^2)

ora continuo ad integrare per parti quindi?

[pater46]

( perchè integrare per parti quando con la sostituzione risolvi in un passaggio? )

[qwert90]

non conoscevo la sostituzione

[qwert90]

@dna88 : se leggi i passagi che ha scritto pater46 o qyuelli che ho scritto lo capisci subito..
temo che tu ti stia incartando in qualche passaggio..

[pater46]

Effettivamente il tuo procedimento è pure esatto ( ovviamente ), è una formula per ricorrenza, non è molto ovvia, io non ci sarei mai arrivato o.O

[dna881]

"pater46":[quote="qwert90"]$\intlog^2(x)*(1/x)dx = log^2(x) *\int(1)/(x)dx $

momento momento momento momento momento momento momento.. questo passaggio non è corretto!


Quell'integrale è un integrale praticamente notevole! Si nota più chiaramente considerando:

$ int log^2x * 1/x dx = int log^2x (logx)' dx = int log^2x dlogx = (log^3x)/3 $[/quote]

allora tu dici per sostituzione.. in effetti sembra molto + facile come fai tu

$ int log^2x * 1/x dx = int log^2x (logx)' dx = int log^2x dlogx = (log^3x)/3 $

ma io per sostituzione di solito lo intendo tipo logx = t .... quindi come faccio a creare l'integrale con una variabile derivante da sostituzione?

del tipo $log(x+1)$ io faccio ==> $x+1=t$ quindi $x=t-1$ >>> derivo >>> dx = dt e quindi $logt$

riesci a farmi gli stessi passaggi con il tuo ragionamento? perchè sui prodotti notevoli io non trovo questa integrale... cosi tanto per capire come posso arrivarci + velocemente

[pater46]

poni $ t = log x$

[dna881]

"pater46":[quote="qwert90"]$\intlog^2(x)*(1/x)dx = log^2(x) *\int(1)/(x)dx $

momento momento momento momento momento momento momento.. questo passaggio non è corretto!


Quell'integrale è un integrale praticamente notevole! Si nota più chiaramente considerando:

$ int log^2x * 1/x dx = int log^2x (logx)' dx = int log^2x dlogx = (log^3x)/3 $[/quote]

pater scusa ma sono rinco... e non capisco il metodo di sostituzione che hai usato.

riesci a farmi passaggio per passaggio? $ int log^2x dlogx$ questa sopratutto è la parte che mi è oscura.. hai messo dentro ad un integrale la derivata che genera poi $1/x$ . ma si può? e poi come la porti fuori dall'integrale una derivata? la consideri o no? mi sono incartato.

[pater46]

Si guarda è la stessa identica cosa, scusa non volevo crearti confusione. Esplicitiamolo meglio: poniamo $ t = ln x $. Segue che $dt = (dx)/x$

Andiamo a sostituire:

$int log^2x \cdot 1/x dx => int t^2 dt = t^3/3 +c$

Ora basta rimettere a posto "i pezzi"

$t^3/3 +c = log^3(x)/3 +c$

[dna881]

"pater46":Si guarda è la stessa identica cosa, scusa non volevo crearti confusione. Esplicitiamolo meglio: poniamo $ t = ln x $. Segue che $dt = (dx)/x$

Andiamo a sostituire:

$int log^2x \cdot 1/x dx => int t^2 dt = t^3/3 +c$

Ora basta rimettere a posto "i pezzi"

$t^3/3 +c = log^3(x)/3 +c$

ecco è proprio questo il passaggio che mi sfugge.
ovvero come fai a trasformare $log^2x * 1/x$ in $t^2$ sembra quasi che l' $1/x$ lo tralasci... non lo devi trasformare in t anche quello? tu facendo cosi lo elimini solo con il nuovo $dx$ ovvero il $dx/x$. ma io ero convinto che era necessario trasformare tutto quello sotto all $int$ in $t$.