Aiuto calcolo integrale
Devo dimostrare che
\( \int_{-1}^{1}dy\,(1-y^2)^l\frac{d^l}{dy^l}y^k\)
con $l \leq k$ è diverso da zero solo se k è pari.
Suggerimenti???
\( \int_{-1}^{1}dy\,(1-y^2)^l\frac{d^l}{dy^l}y^k\)
con $l \leq k$ è diverso da zero solo se k è pari.
Suggerimenti???
Risposte
Scusa, lo riscrivo in notazione matematica che quella fisica mi porta sempre in confusione: vuoi dimostrare che
$\int_{-1}^1 (1-y^2)^l \cdot {d^l y^k}/{dy^l}\ dy\ne 0$ con $l\le k$ se e solo se $k=2h$
corretto?
Hai provato a vedere come si possa esprimere quella derivata? Una volta fatto questo, la cosa dovrebbe diventare molto semplice, integrando per parti.
$\int_{-1}^1 (1-y^2)^l \cdot {d^l y^k}/{dy^l}\ dy\ne 0$ con $l\le k$ se e solo se $k=2h$
corretto?
Hai provato a vedere come si possa esprimere quella derivata? Una volta fatto questo, la cosa dovrebbe diventare molto semplice, integrando per parti.
Io ho ragionato in questo modo:
innanzi tutto integro per parti (osservo che i termini di bordo sono nulli)
la funzione $f(y)=(1-y^2)^l$ è pari per ogni $l$. Se la derivo un numero pari di volte rimane pari, altrimenti diventa dispari. Allora se $l$ è pari $k$ deve essere necessariamente pari per avere un integrale non nullo; se, infatti, fosse dispari avrei un integranda dispari, essendo $y^k$ dispari e quindi integrata in un intervallo simmetrico dà zero.
Ragionamento analogo si può fare se $l$ è dispari.
innanzi tutto integro per parti (osservo che i termini di bordo sono nulli)
la funzione $f(y)=(1-y^2)^l$ è pari per ogni $l$. Se la derivo un numero pari di volte rimane pari, altrimenti diventa dispari. Allora se $l$ è pari $k$ deve essere necessariamente pari per avere un integrale non nullo; se, infatti, fosse dispari avrei un integranda dispari, essendo $y^k$ dispari e quindi integrata in un intervallo simmetrico dà zero.
Ragionamento analogo si può fare se $l$ è dispari.
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