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[mmattiak]

Ciao a tutti, mi sono iscritto quest anno alla facoltà di matematica. Sto avendo numerosi problemi nella risoluzione di dimostrazioni trAmite principio di induzione e di non contraddizione. Non ho problemi a capire le lezioni, ma non riesco proprio a fare le dimostrazioni di proposizioni. Vengo dal classico. È normale che io abbia questi problemi? Cosa mi consigliate fare? Esistono delle "linee guida" per impostare una dimostrazione? Grazie in anticipo

[jitter1]

Guarda, se ti può incoraggiare l'altro giorno ho assistito alla prima lezione di Analisi 1 presso una facoltà di matematica e un ragazzo, in aula, ha detto di avere fatto il classico e di non avere mai studiato niente di analisi.
Il prof l'ha rassicurato e dicendogli che, invece, il classico prepara bene al ragionamento e che quindi non dovrebbe proprio avere problemi! Quindi vedrai che andrà a gonfie vele!
Quanto al principio di induzione vedrai che, una volta capito il punto fondamentale e un po' più delicato, è facileda applicare. Cosa non ti torna?

[mmattiak]

Il professore ci ha dato una scheda con varie proposizioni da dimostrare. Il problema è che non so proprio come muovermi, non so da dove partire e quale principio applicare. Credo che il livello sia alto, perché un po' tutti stanno avendo problemi. Un esempio è quello di dimostrare che n!

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[jitter1]

Devi dimostrare, con il principio di induzione, che $n! < n^n \forall n >=2$.

Il principio di induzione funziona così (più difficile da dire che da capire, una volta capito):
1) verifico che la mia proposizione $P(n)$ è vera per un n "iniziale", supponiamo per n = 2 (di solito è n = 0, o a 1, 2... dipende dall'esercizio)
2) verifico che vale l'implicazione $P(n) -> P(n+1)$. Perché? Perché al punto 1) io ho verificato che la P(2) è vera. La "verità dell'implicazione" $P(n) -> P(n+1)$ mi garantisce che $P(2) -> P(3)$, quindi anche $P(3)$ è vera. Ma allora anche $P(4)$ è vera, perché implicata da P(3). E così via.... (prevedo un'orda di filosofi assatanati che interverranno su quel " e così via"... ma noi... ce ne freghiamo hehe ). "E così via sia", all'infinito e oltre .

Ora applichiamo questa cosa al nostro problema.
1) P(2) è vera perché 2! = 2 < 4
2) Ora dimostriamo che $n! < n^n$ implica $(n+1)!<(n+1)^(n+1)$. Cioè, supposto vero che $n! < n^n$, questo mi porta a concludere $(n+1)!<(n+1)^(n+1)$? Vediamo...

$n! < n^n$ implica $n! (n + 1) < n^n (n + 1)$
[moltiplichi entrambi i membri per (n + 1)]

Sai anche che $n! (n + 1) = (n + 1)!$.

Osservi che $n^n (n + 1) < (n + 1)^n (n + 1) = (n + 1)^(n + 1)$.
$(n + 1)! < n^n (n+1) < (n + 1)^(n + 1)$, per la transitiva del minore, zac, $(n + 1)! < (n + 1)^(n + 1)$, che è proprio la P(n+1).
Hai dimostrato quindi che P(n) implica P(n+1) e che quindi la P è vera.

[dissonance]

@jitter:

[gio73]

benvenuto mattia,
puoi cambiare il titolo in modo che si capisca l'argomento: aiuto è piuttosto vago.
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