Aiutissimo con le serie
come al solito.. sempre con lo stesso titolo 
vi chiedo aiuto su un argomento nuovo.. le serie.. avrei bisogno di sapere come risolvere e svolgere esercizi che richiedono lo studio del carattere di una serie. vorrei sapere i metodi.. poi magari posto qualche esercizio e lo svolgo cn voi..
vi chiedo aiuto su un argomento nuovo.. le serie.. avrei bisogno di sapere come risolvere e svolgere esercizi che richiedono lo studio del carattere di una serie. vorrei sapere i metodi.. poi magari posto qualche esercizio e lo svolgo cn voi..
Risposte
Per prima cosa si controlla se la condizione necessaria è soddisfatta, ovvero, una serie
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
può convergere solo se $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$. Se questo limite non fa zero la serie non converge (non è detto che diverga, visto che la somma potrebbe anche non esistere).
Se la serie considerata è a termini posiviti, cioè $a_n \ge 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}$, puoi usare i criteri della radice, del rapporto, del confronto asintotico.
Il criterio della radice dice che se $\lim_{n \to +\infty} \root{n}{a_n} = l$ allora
- se $l<1$ la serie converge
- se $l > 1$ la serie diverge
- se $l = 1$ nulla si può dire
Il criterio del rapporto è simile per certi versi, ovvero se $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l$, allora la serie converge, diverge, o non si può dire niente se $l$ assume i valori detti per il criterio della radice.
Il criterio del confronto asintotico dice che se $\lim_{n \to +\infty} \frac{b_n}{a_n} = k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, allora se
$\sum_{n=0}^{+\infty} b_n$ (1)
converge, allora converge anche
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ (2)
se invece la (1) diverge, diverge anche la (2).
Nel caso la serie considerata sia a termini di segno alterno, della forma
$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n$
con $a_n$ successione a termini positivi, se
- $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$
- $a_n$ è una successione monotòna decrescente
la serie converge per il criterio di Leibniz.
Un criterio che si può usare in ogni caso (anche se non ha molto senso usarlo per serie a termini positivi) è il criterio della convergenza assoluta. Supponi di avere una serie
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
allora se
$\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$
converge, converge anche $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
Un altro criterio che si può sempre usare (mi pare...)* è quello che confronto. Supponi di avere due serie
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
$\sum_{n=0}^{+\infty} b_n$
Se $a_n < b_n \quad \forall \in \mathbb{N}$, allora
- se $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ diverge, allora diverge anche $\sum_{n=0}^{+\infty} b_n$
- se $\sum_{n=0}^{+\infty} b_n$ converge, allora converge anche $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
*e invece no! Vale solo per serie a termini non negativi.
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
può convergere solo se $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$. Se questo limite non fa zero la serie non converge (non è detto che diverga, visto che la somma potrebbe anche non esistere).
Se la serie considerata è a termini posiviti, cioè $a_n \ge 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}$, puoi usare i criteri della radice, del rapporto, del confronto asintotico.
Il criterio della radice dice che se $\lim_{n \to +\infty} \root{n}{a_n} = l$ allora
- se $l<1$ la serie converge
- se $l > 1$ la serie diverge
- se $l = 1$ nulla si può dire
Il criterio del rapporto è simile per certi versi, ovvero se $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l$, allora la serie converge, diverge, o non si può dire niente se $l$ assume i valori detti per il criterio della radice.
Il criterio del confronto asintotico dice che se $\lim_{n \to +\infty} \frac{b_n}{a_n} = k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, allora se
$\sum_{n=0}^{+\infty} b_n$ (1)
converge, allora converge anche
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ (2)
se invece la (1) diverge, diverge anche la (2).
Nel caso la serie considerata sia a termini di segno alterno, della forma
$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n$
con $a_n$ successione a termini positivi, se
- $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$
- $a_n$ è una successione monotòna decrescente
la serie converge per il criterio di Leibniz.
Un criterio che si può usare in ogni caso (anche se non ha molto senso usarlo per serie a termini positivi) è il criterio della convergenza assoluta. Supponi di avere una serie
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
allora se
$\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$
converge, converge anche $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
Un altro criterio che si può sempre usare (mi pare...)* è quello che confronto. Supponi di avere due serie
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
$\sum_{n=0}^{+\infty} b_n$
Se $a_n < b_n \quad \forall \in \mathbb{N}$, allora
- se $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ diverge, allora diverge anche $\sum_{n=0}^{+\infty} b_n$
- se $\sum_{n=0}^{+\infty} b_n$ converge, allora converge anche $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
*e invece no! Vale solo per serie a termini non negativi.
Tipper la condizione necessaria per la convergenza è il criterio di cauchy.
per leibniz si dice "converge assolutamente" in modo assoluto
per leibniz si dice "converge assolutamente" in modo assoluto
"Algalord":
per leibniz si dice "converge assolutamente" in modo assoluto
Be' no. Una cosa è la convergenza assoluta, un'altra la convergenza secondo il criterio di Leibniz.
mi correggo scusa
sono due criteri completamenti diversi
per leibniz si devono soddisfare due condizione che lim sia 0 ( che può convergere divergere o essere indeterminata) e che sia decrescente, cioè an > an +1
per l'assoluta convergenza, la serie deve convergere
sono due criteri completamenti diversi
per leibniz si devono soddisfare due condizione che lim sia 0 ( che può convergere divergere o essere indeterminata) e che sia decrescente, cioè an > an +1
per l'assoluta convergenza, la serie deve convergere
considerando questa serie:
$ \sum_{n=0}^{+\infty}((5n+1)/((n^2)+1)) $
ho controllato la condizione necessaria ed è soddisfatta.. poi mi sembra che sia a termini positivi quindi ho applicato il criterio della radice..ora però mi esce sempre 0.. cosa ho sbagliato?
$ \sum_{n=0}^{+\infty}((5n+1)/((n^2)+1)) $
ho controllato la condizione necessaria ed è soddisfatta.. poi mi sembra che sia a termini positivi quindi ho applicato il criterio della radice..ora però mi esce sempre 0.. cosa ho sbagliato?
Avrai sbagliato a fare il limite. 
Prova a usare il criterio del confronto asintotico.
Prova a usare il criterio del confronto asintotico.
Non hai sbagliato a fare il limite, sono io il broccione che ho sbagliato a scrivere il criterio della radice, modifico subito.
io proverei a fare con il criterio del confonto asintotico, ovvero cercare quel rapporto tra an e bn tale che il risultato sia L. ecco siccome al denominatore c'è n al quadrato, io proverei a dividere quella successione per 1/n così al numeratore e den il quadrato di n se ne va. dovrebbe divergere: 1/n lo studi con la serie armonica semplice ( non generalizzata) e dato che l'esponente alfa di n è uguale a 1 la serie diverge. se alfa fosse stato alq uadrato o al cubo etc in questo caso saremmo stati nella serie armonica generalizzata per cui alfa è >1 quindi la serie convergeva.
non capisco come posso applicare il metodo del confronto asintotico.. io ho una sola serie giusto? li mene vengono chieste due.. come faccio?
Verifica che l'argomento della serie è asintotico a $\frac{1}{n}$ per $n \to +\infty$.
uhm nn ho capito..spiegami meglio..
ps grazie per la pazienza
ps grazie per la pazienza
Calcola
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{5n + 1}{n^2 + 1}}{\frac{1}{n}}$
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{5n + 1}{n^2 + 1}}{\frac{1}{n}}$
allora prima di continuare...ricapitolando
prima di tutto controllo che la serie possa convergere. In secondo luogo verifico che la serie si a termini positivi.. c'è un modo per verificarlo?
se a termini positivi applico i metodi:
- della radice
- del rapporto
- del confronto (che però mi chiede due serie.. come lo applico??)
nel caso di serie a termini alterni applico il criterio di leibniz
nel caso di serie non positiva uno il criterio della convergenza assoluta..dv praticamente devo mettere tra valore assouto an e trattarla come se fosse a termini positivi?
prima di tutto controllo che la serie possa convergere. In secondo luogo verifico che la serie si a termini positivi.. c'è un modo per verificarlo?
se a termini positivi applico i metodi:
- della radice
- del rapporto
- del confronto (che però mi chiede due serie.. come lo applico??)
nel caso di serie a termini alterni applico il criterio di leibniz
nel caso di serie non positiva uno il criterio della convergenza assoluta..dv praticamente devo mettere tra valore assouto an e trattarla come se fosse a termini positivi?
"axl_1986":
In secondo luogo verifico che la serie si a termini positivi.. c'è un modo per verificarlo?
Se il termine generale della serie è una successione in cui tutti i termini sono positivi allora la serie è a termini posiviti. Ad esempio
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$
è una serie a termini positivi, visto che $\frac{1}{n} > 0 \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$.
"axl_1986":
nel caso di serie non positiva uno il criterio della convergenza assoluta..dv praticamente devo mettere tra valore assouto an e trattarla come se fosse a termini positivi?
Sì.
quindi l'unico metodo che nn ho capito è quello del confronto..potresti spiegarmelo meglio please??
Ti faccio un esempio, supponi di avere
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^2}$
Come studieresti la convergenza? Per prima cosa si osserva che la condizione necessaria è soddisfatta, dunque la serie può convergere. La serie non è a termini positivi, vediamo se converge assolutamente, ovvero consideriamo
$\sum_{n=1}^{+\infty} |\frac{\sin(n)}{n^2}| = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\sin(n)|}{n^2}$
Questa serie è a termini positivi, usiamo il criterio del confronto. Dato che $|\sin(n)| \le 1 \quad \forall n \in \mathbb{N}$, allora
$\frac{|\sin(n)|}{n^2} \le \frac{1}{n^2} \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$
La serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$
converge perché un'armonica con esponente maggiore di $1$, pertanto converge, per il criterio del confronto, anche
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\sin(n)|}{n^2}$
Quindi la serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^2}$
converge assolutamente, perciò anche semplicemente.
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^2}$
Come studieresti la convergenza? Per prima cosa si osserva che la condizione necessaria è soddisfatta, dunque la serie può convergere. La serie non è a termini positivi, vediamo se converge assolutamente, ovvero consideriamo
$\sum_{n=1}^{+\infty} |\frac{\sin(n)}{n^2}| = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\sin(n)|}{n^2}$
Questa serie è a termini positivi, usiamo il criterio del confronto. Dato che $|\sin(n)| \le 1 \quad \forall n \in \mathbb{N}$, allora
$\frac{|\sin(n)|}{n^2} \le \frac{1}{n^2} \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$
La serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$
converge perché un'armonica con esponente maggiore di $1$, pertanto converge, per il criterio del confronto, anche
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\sin(n)|}{n^2}$
Quindi la serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^2}$
converge assolutamente, perciò anche semplicemente.
nel confronto asintotico devi trovare una L tale che: 0
Ciao! Sono il tuo Tutor AI, il compagno ideale per uno studio interattivo. Utilizzo il metodo maieutico per affinare il tuo ragionamento e la comprensione. Insieme possiamo:
- Risolvere un problema di matematica
- Riassumere un testo
- Tradurre una frase
- E molto altro ancora...
Il Tutor AI di Skuola.net usa un modello AI di Chat GPT.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Annuale
3,99€
-
Accedi a tutti gli appunti
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Trimestrale
7,99€
-
5 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Mensile
12,79€
-
3 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it