Aiutino sulle serie...
Salve! Per favore, potete darmi una mano per questo esercizio di esame di Analisi Matematica II per ingegneri?
Si tratta di studiare la convergenza puntuale e uniforme di una serie
di funzioni di questo tipo:
SOMMATORIA per n=1 fino a n=INFINITO di:
[(1+n)^1/2]/[2+(n^2)*(x^2)]
Credo che debba usare il criterio di Weistrass per la convergenza totale e il criterio di Cauchy uniforme per la convergenza puntuale. Tuttavia non so se la serie di funzioni si può semplificare ulteriormente oppure devo applicare direttamente i criteri alla funzione così come viene data.
Grazie anticipatamente!:-)
Si tratta di studiare la convergenza puntuale e uniforme di una serie
di funzioni di questo tipo:
SOMMATORIA per n=1 fino a n=INFINITO di:
[(1+n)^1/2]/[2+(n^2)*(x^2)]
Credo che debba usare il criterio di Weistrass per la convergenza totale e il criterio di Cauchy uniforme per la convergenza puntuale. Tuttavia non so se la serie di funzioni si può semplificare ulteriormente oppure devo applicare direttamente i criteri alla funzione così come viene data.
Grazie anticipatamente!:-)
Risposte
Questo passaggio non lo trovi sui libri, comunque, secondo me per prima cosa, bisogna cercare di capire ad occhio dove e come converge con un'occhio particolare ai casi $x \to \infty$ e $x=0$ o comunque dove si annulla qualche cosa.
Ad esempio in questo caso:
1. se $x=0$ rimane:
$ \sum_{n=1}^\infty 1/2 \sqrt{1+n} $
che ovviamente non converge.
2. al crescere di $x$ le cose vanno bene nel senso che il denominatore cresce sempre più velocemente.
Poi il secondo step è la convergenza puntuale nel caso $x \ne 0$. La serie dovrebbe convergere per il criterio del confronto asintotico.
Infine si arriva alla convergenza assoluta. In questi casi possono verificarsi tre casi:
1. la serie converge ovunque assolutamente
2. la serie non converge assolutamente
3. la serie converge su un sottoinsime di $(0 \infty)$ (l'insieme su cui converge puntualmente).
A questo punto procederei così: escluderei la 1. esibendo una successione $x_n$ convergente a $0$ tale per cui la serie calcolata in $x=x_n$ diverga. Poi userei il criterio di Weirstrass che viene naturale visto che la funzione:
$ f_n(x)=[(1+n)^(1/2)]/[2+n^2 x^2] $
è decrescente applicandolo sul generico intervallo $[\alpha , \infty)$ con $alpha > 0$.
Ad esempio in questo caso:
1. se $x=0$ rimane:
$ \sum_{n=1}^\infty 1/2 \sqrt{1+n} $
che ovviamente non converge.
2. al crescere di $x$ le cose vanno bene nel senso che il denominatore cresce sempre più velocemente.
Poi il secondo step è la convergenza puntuale nel caso $x \ne 0$. La serie dovrebbe convergere per il criterio del confronto asintotico.
Infine si arriva alla convergenza assoluta. In questi casi possono verificarsi tre casi:
1. la serie converge ovunque assolutamente
2. la serie non converge assolutamente
3. la serie converge su un sottoinsime di $(0 \infty)$ (l'insieme su cui converge puntualmente).
A questo punto procederei così: escluderei la 1. esibendo una successione $x_n$ convergente a $0$ tale per cui la serie calcolata in $x=x_n$ diverga. Poi userei il criterio di Weirstrass che viene naturale visto che la funzione:
$ f_n(x)=[(1+n)^(1/2)]/[2+n^2 x^2] $
è decrescente applicandolo sul generico intervallo $[\alpha , \infty)$ con $alpha > 0$.
Grazie!
Hemm....ne possiamo fare un altro? Poi tolgo il disturbo!:-P
Allora, il problema è il seguente.
Data la serie:
SOMMATORIA per n=1 fino a n= infinito di
[n^(x/2)]/(2^n)
provare che:
1)converge puntualmente in R
2) converge uniformemente in ]-infinito, 0]
3) NON converge uniformemente in [0, +infinito[
In x=0 c'è una forma indeterminata? Credo che per x che tende a +infinito il numeratore dovrebbe crescere più velocemente del denominatore, mentre per x tendente a -infinito dovrebbe convergere.
Hemm....ne possiamo fare un altro? Poi tolgo il disturbo!:-P
Allora, il problema è il seguente.
Data la serie:
SOMMATORIA per n=1 fino a n= infinito di
[n^(x/2)]/(2^n)
provare che:
1)converge puntualmente in R
2) converge uniformemente in ]-infinito, 0]
3) NON converge uniformemente in [0, +infinito[
In x=0 c'è una forma indeterminata? Credo che per x che tende a +infinito il numeratore dovrebbe crescere più velocemente del denominatore, mentre per x tendente a -infinito dovrebbe convergere.
"Luxor":
Poi tolgo il disturbo!:-P
No quale disturbo!! Ti vogliamo come membro attivo del forum: non provare nemmeno a scappare!!!!
Comunque se l'esercizio lo rifacessi io non è che servirebbe a molto (per carità servirebbe a me: sono molto più scarso e arrugginito di quanto dò a vedere per cui un po' di ex. mi fa sempre bene).
Quindi propongo di farlo assieme: comincia a svolgerlo poi vediamo dove ti blocchi.
Eheheh....grazie per l'accoglienza! 
Dunque, credo che la serie di funzioni data debba essere semplificata prima di poter applicare qualche criterio. Per esempio potrei trasformare numeratore e denominatore in logaritmi. Dovrei trovare:
f_n(x) = [(x/2)lnn] / (n*ln2)
tuttavia ho come l'impressione che facendo così mi metto nei guai...
Dunque, credo che la serie di funzioni data debba essere semplificata prima di poter applicare qualche criterio. Per esempio potrei trasformare numeratore e denominatore in logaritmi. Dovrei trovare:
f_n(x) = [(x/2)lnn] / (n*ln2)
tuttavia ho come l'impressione che facendo così mi metto nei guai...
Mmmm applicare il logaritmo sopra e sotto non sembra molto utile.... comunque anche se così si semplificasse di molto l'espressione e riuscissi a dimostrare facilmente la convergenza non è assolutamente detto che la serie senza logaritmi converga o viceversa...
No per la convergenza puntuale direi che si può tranquillamente agire direttamente su:
$(n^(x/2))/(2^n)$
nota che il numeratore è una potenza di $n$, mentre il denominatore è un esponenziale in $n$: il denominatore è molto più "potente" del numeratore e, all'infinito, in pratica il numeratore non conta nulla: quest'espressione è sicuramente asintotica a un'esponenziale quindi....
No per la convergenza puntuale direi che si può tranquillamente agire direttamente su:
$(n^(x/2))/(2^n)$
nota che il numeratore è una potenza di $n$, mentre il denominatore è un esponenziale in $n$: il denominatore è molto più "potente" del numeratore e, all'infinito, in pratica il numeratore non conta nulla: quest'espressione è sicuramente asintotica a un'esponenziale quindi....
david_e scrive:
Mmmm applicare il logaritmo sopra e sotto non sembra molto utile.... comunque anche se così si semplificasse di molto l'espressione e riuscissi a dimostrare facilmente la convergenza non è assolutamente detto che la serie senza logaritmi converga o viceversa...
Ciao, rischio di cambiare l'argomento della serie?
Se il numeratore cresce meno velocemente del denominatore, potrei applicare anche in questo caso il criterio del confronto asintotico?
Per quanto riguarda le domande 2) e 3), essendo richiesto che devo provare la convergenza e la non convergenza per ]-infinito,0] e [0, +infinito[, potrei applicare il criterio di weierstrass sulla convergenza totale su intorni discosti dall' origine?
Mmmm applicare il logaritmo sopra e sotto non sembra molto utile.... comunque anche se così si semplificasse di molto l'espressione e riuscissi a dimostrare facilmente la convergenza non è assolutamente detto che la serie senza logaritmi converga o viceversa...
Ciao, rischio di cambiare l'argomento della serie?
Se il numeratore cresce meno velocemente del denominatore, potrei applicare anche in questo caso il criterio del confronto asintotico?
Per quanto riguarda le domande 2) e 3), essendo richiesto che devo provare la convergenza e la non convergenza per ]-infinito,0] e [0, +infinito[, potrei applicare il criterio di weierstrass sulla convergenza totale su intorni discosti dall' origine?
Hemm, volevo scrivere "cioè" al posto di "ciao" nel mio post precedente
Beh chiaramente se applichi il logaritmo ottieni una grandezza diversa da quella che avevi in origine.... nulla garantisce a priori che i due oggetti abbiano in comune la proprieta' di convergenza....
Per il punto 1) il confronto asintotico va benissimo: il denominatore cresce esponenzialmente.
Per il punto 2) Weierstrass
Per il punto 3) secondo me il metodo piu' veloce per dimostrare che una serie non converge assolutamente e' trovare una successione $x_n$ tale per cui la serie calcolata con $x=x_n$ diverga. Ad esempio se poni:
$ x_n = 2n $
trovi la serie:
$ \sum_{n=1}^\infty (n^n)/(2^n) $
il cui argomento non e' nemmeno infinitesimo per cui non ci sono dubbi sulla non convergenza....
Per il punto 1) il confronto asintotico va benissimo: il denominatore cresce esponenzialmente.
Per il punto 2) Weierstrass
Per il punto 3) secondo me il metodo piu' veloce per dimostrare che una serie non converge assolutamente e' trovare una successione $x_n$ tale per cui la serie calcolata con $x=x_n$ diverga. Ad esempio se poni:
$ x_n = 2n $
trovi la serie:
$ \sum_{n=1}^\infty (n^n)/(2^n) $
il cui argomento non e' nemmeno infinitesimo per cui non ci sono dubbi sulla non convergenza....
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