Aiutino passaggio (limiti con taylor)

[Robert9669]

Limite 1 :

$ lim_(x -> 0) (2x)^sin(x) $

ho provato a fare lo sviluppo del seno e sostituire ma non viene fuori nulla di buono mi è stato quindi suggerito che

$ (2x)^sin(x) $ dovrebbe diventare

$ e^(sinx*[ln(2)+ln(x)] $

e ovviamente il risultato mi viene e^0 =1

non ho però capito perchè $ (2x)^sin(x) $ si trasforma in quella maniera (cioè quale proprietà viene applicata :/

Limite 2:

$ lim_(x -> 0) (e^x -cosx -sinx)/((e^(x^2))-(e^(x^3)) $

Sviluppando il numeratore mi viene asintotico a x^2 mentre sviluppando al denominatore non riesco a venirne fuori (il rislutato dovrebbe essere uno)

[cooper1]

per il limite 1:
lo fai perchè applichi la proprietà dei logaritmi che dice che: $ a^(log_a b)=b $ se $a, b > 0 ^^ a != 1$
per il limite 2:
bha non so dove sia il problema del denominatore. sviluppi con Taylor e ottieni: $1+x^2-1-x^3$. questo per $x->0$ si comporta come $x^2$

[Robert9669]

"cooper":

per il limite 2:
bha non so dove sia il problema del denominatore. sviluppi con Taylor e ottieni: $1+x^2-1-x^3$. questo per $x->0$ si comporta come $x^2$

Cavolo era così semplice!Avevo sbagliato io (provando a riscrivermi il denominatore in maniera diversa e mi veniva fuori qualcosa di butto xD)

"cooper":per il limite 1:
lo fai perchè applichi la proprietà dei logaritmi che dice che: $ a^(log_a b)=b $ se $a, b > 0 ^^ a != 1$

Pardon ma riesco ancora a inquadrarla sinceramente cè vedendo il (2x)^sin(x)(o un qualcosa di questo tipo) e questa proprietà come dovrei fare passo passo per applicarla?

[cooper1]

applichi l'esponenziale com ti ho detto, trovando:

$ e^(ln(2x)^(sinx)) $

ora invece applichi un'altra proprietà dei logaritmi che permette di "far scendere" l'esponente. ottieni quindi:

$ e^(sinx*ln(2x)) $