Aiutino integrale

[girlS1]

chi mi può aiutare con questo integrale?!! so che è stupido, ma mi sono bloccata e non riesco ad andare avanti.. l' integrale è sen^3x... l'ho considerato come se fosse senx(sen^2x) poi ancora senx(1-cos^2x)... e mi viene integrale di senx - integrale senxcos^2x.. come vado avanti ora?? faccio l' integrazione per parti del secondo integrale e come??aiutino..menci..

[gugo82]

$\int sin x" d"x-\int sinx*cos^2x" d"x= -cosx+\int cos^2x" d"(cosx)$ ed integri come fosse una potenza.

[girlS1]

scusami.. non mi è chiara una cosa.. perchè scrivi d(cosx)??cioè apparte a risolvere il primo integrale, cosa hia fatto al secondo??

[Nikilist]

Forse ti è più familiare la sostituzione: $cosx=t$, quindi $-sinx dx=dt$ e quindi $dx=-(dt)/sinx$. Sostituendo nel secondo integrale ti resta $-int t^2 dt=-t^3/3=-(cos^3x)/3$

[gugo82]

"girlS":scusami.. non mi è chiara una cosa.. perchè scrivi d(cosx)??cioè apparte a risolvere il primo integrale, cosa hia fatto al secondo??

Ricordo che $"d"(cos x)=-sinx*"d"x$.

@Nikilist: la sostituzione è rischiosa, perchè $cos x$ non è invertibile... diciamo che forse va bene a livello formale, ma non è il massimo della correttezza.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Forse così è più chiaro (ma non assicuro niente): detta $f(x)=cos(x)$ hai che

$int sen^3(x) dx = int sen(x) dx - int cos^2(x) sen(x) dx = -cos(x)+int f(x)^2 f'(x) dx = -cos(x)+1/3 f(x)^3+costante$

essendo ben noto che la derivata di $f(x)^3$ rispetto a $x$ è $3f(x)^2f'(x)$.