Aiutino a capire una formula [esponenziale complesso]
Salve a tutti,
chiedo scusa sia per la banalità della domanda (
) sia per il posto dove viene posta, ma non so come venirne fuori e ho ormail il cervello fuso.
Non sapevo in quale altro forum del sito inserire la richiesta e quindi la inserisco in questo generale.
Il mio problema è capire come la seguente (
):
$H(e^{i\omega})=1-e^{-i\omega}$
diventi la seguente?
$|H(e^{i\omega})|^2=4sin^2\frac{\omega}{2}$
con la i intendo il numero immaginario.
Grazie a tutti.
[mod="Fioravante Patrone"]Ho precisato il titolo, come da regolamento. Ho anche spostato in "Università"[/mod]
chiedo scusa sia per la banalità della domanda (
) sia per il posto dove viene posta, ma non so come venirne fuori e ho ormail il cervello fuso.Non sapevo in quale altro forum del sito inserire la richiesta e quindi la inserisco in questo generale.
Il mio problema è capire come la seguente (
):$H(e^{i\omega})=1-e^{-i\omega}$
diventi la seguente?
$|H(e^{i\omega})|^2=4sin^2\frac{\omega}{2}$
con la i intendo il numero immaginario.
Grazie a tutti.
[mod="Fioravante Patrone"]Ho precisato il titolo, come da regolamento. Ho anche spostato in "Università"[/mod]
Risposte
Innanzitutto io farei un m.c.m : $H(\omega) = (e^(i\omega) -1)/(e^(i\omega)) = (cos(\omega) +isen(\omega) -1 )/(cos(\omega) +i sen(\omega))$. Dunque adesso eleviamo al quadrato parte reale e la sommiamo al quadrato della parte immaginaria(perchè $|a+ib|=sqrt(a^2 +b^2)$), e dunque avremo $|H(\omega)| = cos^2(\omega) +1 -2cos(\omega) +sen^2(\omega) = 2-2cos(\omega)$.
Che per le formule di bisezione è proprio uguale al risultato cercato.
Ciao!
Che per le formule di bisezione è proprio uguale al risultato cercato.
Ciao!
Grazie mille.
Mi vergogno molto ma mi sono chiarissimi i passaggi dal secondo all'ultimo, non mi è chiaro il primo passaggio che fai.
Ciao e grazie ancora.
Mi vergogno molto ma mi sono chiarissimi i passaggi dal secondo all'ultimo, non mi è chiaro il primo passaggio che fai.
Ciao e grazie ancora.
Non devi mica avere vergogna 
Dunque:
$e^-x = 1/(e^x)$ e quindi $H(\omega)=1-e^(-i\omega) = 1- 1/(e^(i\omega)) = (e^(i\omega) - 1 )/(e^(i\omega))$ (facendo il minimo comune multiplo)...poi il quadrato dell'esponenziale complesso$e^(i\omega) =1$ perchè per Eulero lo si può scrivere come $e^(i\omega) = cos(\omega) +i sen(\omega)$ ed elevando al quadrato le parti reali e immaginarie si ottiene $sen^2(\omega) + cos^2(\omega)$ che fa 1 per la prima relazione fondamentale della goniometria.
Se hai altri dubbi, non avere vergogna, da me si dice : nessuno è nato imparato
Ciao!
Dunque:
$e^-x = 1/(e^x)$ e quindi $H(\omega)=1-e^(-i\omega) = 1- 1/(e^(i\omega)) = (e^(i\omega) - 1 )/(e^(i\omega))$ (facendo il minimo comune multiplo)...poi il quadrato dell'esponenziale complesso$e^(i\omega) =1$ perchè per Eulero lo si può scrivere come $e^(i\omega) = cos(\omega) +i sen(\omega)$ ed elevando al quadrato le parti reali e immaginarie si ottiene $sen^2(\omega) + cos^2(\omega)$ che fa 1 per la prima relazione fondamentale della goniometria.
Se hai altri dubbi, non avere vergogna, da me si dice : nessuno è nato imparato
Ciao!
Ancora mille grazie.
Era banale, ma quando uno è scoppiato...
Era banale, ma quando uno è scoppiato...
Eh proprio a me vai a dirlo :=P
In realtà il mio dubbio nasce dal fatto che prendendo la $\frac{e^{i\omega}-1}{e^{iω}}$ ed elevando al quandrato ottengo:
$2-2cos\omega-i2sen\omega$
dove finisce il -i2sen\omega$ ?
Sicuramente dimentico qualche cosa di banale.
$2-2cos\omega-i2sen\omega$
dove finisce il -i2sen\omega$ ?
Sicuramente dimentico qualche cosa di banale.
Non si fa così, perchè devi elevare al quadrato parte reale e parte immaginaria, e qundi devi prima dividerli...nell'esponenziale complesso è compresa sia la parte reale ($cos(\omega)$ ) che la immaginaria (i sen(\omega)), e quindi non puoi brutalmente elevarlo al quadrato, perchè sennò non distingueresti parte reale e parte immaginaria...
Devi prima trasformare l esponenziale in seni e coseni e poi mettere da parte la parte reale, mettere da parte la immaginaria ed elevare al quadrato l una, l altra e poi sommarli.
Capito?
Devi prima trasformare l esponenziale in seni e coseni e poi mettere da parte la parte reale, mettere da parte la immaginaria ed elevare al quadrato l una, l altra e poi sommarli.
Capito?
Chiarissimo. Grazie.
Prego
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