Aiutini su due integrali
Mi potete dare qualche consiglio su come risolvere questi integrali:
1) $\int (2cosx-2 )/(cosx-sinx+1)dx$
2) $\int sqrt(x^2+6x+5) dx$
Con il primo ho provato a sostituire: $t=tg(x/2)$,quindi $x=2arctg t ,senx=(2t)/(1+t^2), cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$,ma non sono sicuro che sia la sostituzione giusta.
Mentre con il secondo non sò proprio da dove iniziare
1) $\int (2cosx-2 )/(cosx-sinx+1)dx$
2) $\int sqrt(x^2+6x+5) dx$
Con il primo ho provato a sostituire: $t=tg(x/2)$,quindi $x=2arctg t ,senx=(2t)/(1+t^2), cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$,ma non sono sicuro che sia la sostituzione giusta.
Mentre con il secondo non sò proprio da dove iniziare
Risposte
Per il primo di solito si usa proprio la sostituzione cha hai detto tu.
Per il secondo ti invito a trasformare ciò che sta sotto la radice in un quadrato perfetto più una costante C,
cioè avere $sqrt(x^2+6x+5)=sqrt((x+a)^2+C)$
Quindi facendo la sostituzione $y=x+a$ e poi integrando per parti ti riporti a una forma migliore.
Ora dovresti aggiungere e togliere una costante al numeratore (sempre la costante C) e quindi spezzarlo
Poi sei a posto perchè dovrebbe restarti un denominatore con $sqrt(y^2+C)$
di cui è noto il modo per risolverlo.
Prova a fare queste cose e vedrai che passo dopo passo capirai.
Se poi hai dei dubbi posta il risultato intermedio e ti posso dare una mano a proseguire
Per il secondo ti invito a trasformare ciò che sta sotto la radice in un quadrato perfetto più una costante C,
cioè avere $sqrt(x^2+6x+5)=sqrt((x+a)^2+C)$
Quindi facendo la sostituzione $y=x+a$ e poi integrando per parti ti riporti a una forma migliore.
Ora dovresti aggiungere e togliere una costante al numeratore (sempre la costante C) e quindi spezzarlo
Poi sei a posto perchè dovrebbe restarti un denominatore con $sqrt(y^2+C)$
di cui è noto il modo per risolverlo.
Prova a fare queste cose e vedrai che passo dopo passo capirai.
Se poi hai dei dubbi posta il risultato intermedio e ti posso dare una mano a proseguire
Per il primo nulla da aggiungere a Misanino... per il secondo puoi anche provare a utilizzare la prima sostituzione di eulero, ponendo $\sqrt{x^2 +6x +5} = x + t$
Dopo aver fatto la sostituzione e l'integrazione per parti mi ritrovo $ysqrt(y^2-4)-\int y^2/(sqrt(y^2-4))dy.
Ho qualche difficoltà a risolvere $\int y^2/(sqrt(y^2-4))dy$
Ho qualche difficoltà a risolvere $\int y^2/(sqrt(y^2-4))dy$
"One":
Dopo aver fatto la sostituzione e l'integrazione per parti mi ritrovo $ysqrt(y^2-4)-\int y^2/(sqrt(y^2-4))dy.
Ho qualche difficoltà a risolvere $\int y^2/(sqrt(y^2-4))dy$
Bravo!!
Do per buoni i calcoli (e comunque a meno di costanti dovrebbero essere giusti).
A questo punto scrivi il numeratore come $y^2-4+4$ e lo spezzi in $y^2-4$ e $4$
Il primo pezzo (diviso con la radice a denominatore) dà proprio l'integrale di partenza ($\int sqrt(y^2-4)$) ma col segno opposto e quindi portando di là e dividendo per 2 hai quanto vale l'integrale di partenza (una volta che risolvi l'integrale che manca cioè $\int 4/(sqrt(y^2-4))$ e credo che questo tu sia in grado di farlo perchè è un tipico integrale della forma $\int 1/sqrt(x^2-a^2)$).
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