Aiutini principio di induzione

bug54
Salve,
mi trovo allde prese con il dimistrare per induzione che vale la seguente relazione:
Σ k = (n/5n+1))/2 dove il pedice della somma è k =2n+1 e l'apice 3n, con la condizione n ≥ 1.

E' possibile semplificare la scrittura scrivendola così?
Σ (2n+1) per n che va da 1 a 3n
per n = 1 è verificata

il passo indittivo dice che deve verificarsi la seguente relazione:
Σ (2(n+1)+1) per n che va da n+1 ad 3(n+1)? come fare?

Risposte
Zero87
"zorrok":
Salve,

Salve!
Ti invito - dopo 22 messaggi scritti - a consultare come scrivere le formule (link che trovi in alto a destra nel box rosa quando scrivi un post.

Non è difficile e i risultati sono oggettivamente migliori di quanto scritto, inoltre eviti fraintendimenti del tipo "credo che intendi che...". :D

Se non ho capito male - proprio parlando di fraintendimenti :D - intendi
$\sum_(k=2n+1)^(3n) k$

Non ho capito granché del tuo ragionamento, anche per questo ti invito ad aspettare altre risposte, tuttavia per delle proprietà banali e interessanti delle serie la scriverei come
$\sum_(k=1)^(3n) k - \sum_(k=1)^(2n) k$
in questo modo la ricavi da quella che si dimostra sempre per prima trattando di induzione, cioè
$\sum_(k=1)^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
(sono andato a memoria, l'ho detta giusta?)

bug54
Ti ringrazi del consiglio di scrivere più correttamente, ci proverò.
Si, hai capito bene e mi pare giusta la soluzione solo (non ti arrabbiare) mi potresti esplicitare il passaggio "banale"?
non capisco come passare dall'indice k=2n+1 a k=1 e dalla differenza delle sommatorie riottenere quella di partenza.

bug54
Ci provo a scivere bene.
Dimostrare per induzione che
$\sum_(k=2n+1) ^(3n) k$ = $(n(5n+1))/2$
per n≥1

ce l'ho fatta!

Zero87
"zorrok":
Si, hai capito bene e mi pare giusta la soluzione solo (non ti arrabbiare) mi potresti esplicitare il passaggio "banale"?

Se m'arrabbiassi per così poco non dovrei far parte di questo forum e nemmeno cercare di sciogliere dubbi a chi li ha (per principio ci vuole pazienza e comprensione ;-) ). :D
Ottima la scrittura in formule (post successivo)!

Comunque, a parte questo, conosci la proprietà di "dividere" le sommatorie?
$\sum_(k=1)^(3n) k = \sum_(k=1)^(2n)k + \sum_(k=2n+1)^(3n) k$
E' un'estensione della proprietà associativa (o dissociativa se la si intende nel verso opposto)

E' come vedere
$1+2+3+4+...+8+9+10= (1+2+3+4)+(5+6+...+9+10)$
facendo delle somme intermedie.

Tornando alla sommatoria la somma per $k$ che va da $1$ a $3n$ la divido in due somme la cui somma è quella che cerco. Ho usato un gioco di parole terrificante, ma non mi viene di meglio! :roll:

Caenorhabditis
"zorrok":

Dimostrare per induzione che
$\sum_(k=2n+1)^(3n) k$ = $(n(5n+1))/2$
per n≥1


bug54
Grazie tanto, finalmente ho capito! ma non tutto!!
il passaggio induttivo è
$sum_(k=2n+3)^(3n+3) k $ = $sum_(k=2n+3)^(3n) k$ + $sum_(k=3n+1)^(3n+3) k$
dove la seconda somma è: (3n+1) + (3n+2)+(3n+3)
mi rimane da capire come da
$sum_(k=2n+3)^(3n) k$ si arrivi a $sum_(k=2n+1)^(3n) k$ - (2n+1) - (2n+2)

gugo82
Scrivere esplicitamente le sommatorie non è reato... :wink:

bug54
fatto!
adesso mi è tutto chiaro.
Grazie tanto.

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