Aiutatemi a capire le serie numeriche....
sto studiando le serie numeriche e non ci sto capendo niente aiutatemi.....
io ho questa definizione negli appunti:
$A_n->(sum_(n = 0)^(+oo)A_n)=l$ convergente se e solo se converge la successione delle somme parziali di $S_n$
$S_n:=sum_(n = 0)^(n)A_n$ ; $lim_(n -> +oo) sum_(n = 0)^(+oo)A_n$
Se $lim_(n -> +oo)S_n=l hArr sum_(n = 0)^(+oo)A_n =l $
e poi ci sono tutti i criteri del confronto rapporto e radice.
ora vi metto un'esercizio di esame per farvi capire bene con che ho a che fare:
Si determini il carattere della serie:
$sum_(n = 1)^(oo)n/(1+cos^2(2n))$
ora vorrei capire come devo cominciare a raggionare per "risolvere questa serie"
io ho questa definizione negli appunti:
$A_n->(sum_(n = 0)^(+oo)A_n)=l$ convergente se e solo se converge la successione delle somme parziali di $S_n$
$S_n:=sum_(n = 0)^(n)A_n$ ; $lim_(n -> +oo) sum_(n = 0)^(+oo)A_n$
Se $lim_(n -> +oo)S_n=l hArr sum_(n = 0)^(+oo)A_n =l $
e poi ci sono tutti i criteri del confronto rapporto e radice.
ora vi metto un'esercizio di esame per farvi capire bene con che ho a che fare:
Si determini il carattere della serie:
$sum_(n = 1)^(oo)n/(1+cos^2(2n))$
ora vorrei capire come devo cominciare a raggionare per "risolvere questa serie"
Risposte
Non c'è una meccanica in questi esercizi. Con l'esperienza si acquisisce l'istinto per indovinare quale criterio sia meglio utilizzare.
In questo caso, dato che $0\leq cos^2(2n)\leq 1$, si ha $n/(1+cos^2 (2n))\geq n/(2)$ e dato che $\sum_{n\in\mathbb{N}}n/2$ diverge, anche la tua serie lo fa.
Paola
In questo caso, dato che $0\leq cos^2(2n)\leq 1$, si ha $n/(1+cos^2 (2n))\geq n/(2)$ e dato che $\sum_{n\in\mathbb{N}}n/2$ diverge, anche la tua serie lo fa.
Paola
capisco che non c'è un modo per risolvere ma te hai fatto un confronto tra $n/(1+cos^2(2n))>=n/2$questo $n/2$dove lo prendi?
Conosco il coseno e so che è una funzione limitata... quindi il suo "contributo" a denominatore sarà limitato. Al contrario il numeratore tende ad infinito... quindi mi è venuto da pensare che "vincerà" il numeratore.
Per dimostrarlo rigorosamente ho usato ciò che ho detto sopra, più in dettaglio usando la diseguaglianza del coseno ottengo:
$n/(1+cos^2 (2n))\geq n/(1+1)$
Il ragionamento è stato:
- mi faccio un'idea intuitiva di quale può essere il risultato, guardando il termine della serie (ed eventualmente calcolandone esplicitamente alcuni termini, per $n=1,2,3,4,5$ per esempio)
- cerco di capire quale metodo applicare per dimostrare rigorosamente la mia idea
Paola
Per dimostrarlo rigorosamente ho usato ciò che ho detto sopra, più in dettaglio usando la diseguaglianza del coseno ottengo:
$n/(1+cos^2 (2n))\geq n/(1+1)$
Il ragionamento è stato:
- mi faccio un'idea intuitiva di quale può essere il risultato, guardando il termine della serie (ed eventualmente calcolandone esplicitamente alcuni termini, per $n=1,2,3,4,5$ per esempio)
- cerco di capire quale metodo applicare per dimostrare rigorosamente la mia idea
Paola
vediamo se ho capito:
$ sum_(n = 1)^(oo)(1+cos(2n))/(n!) $
ora ho $cos (2n)$ ma questa funzione assume valori $-1<=cos(2n)<=1$ ora tra numeratore e denominatore sicuramente è $n!$ ad avere la meglio quindi tendera a $0$ ora se prendo
$A_n=(1+cos(2n)/(n!))$ e $B_n=(1+1)/(n!)$ e dico che $A_n>=B_n hArr (1+cos(2n)/(n!))>=(1+1)/(n!)$ e dato che
il $ lim_(n -> +oo)2/(n!)=0 $ la serie è convergente!
$ sum_(n = 1)^(oo)(1+cos(2n))/(n!) $
ora ho $cos (2n)$ ma questa funzione assume valori $-1<=cos(2n)<=1$ ora tra numeratore e denominatore sicuramente è $n!$ ad avere la meglio quindi tendera a $0$ ora se prendo
$A_n=(1+cos(2n)/(n!))$ e $B_n=(1+1)/(n!)$ e dico che $A_n>=B_n hArr (1+cos(2n)/(n!))>=(1+1)/(n!)$ e dato che
il $ lim_(n -> +oo)2/(n!)=0 $ la serie è convergente!
Ci sono vari errori, anche concettuali. Grazie alla diseguaglianza sul coseno sappiamo che la serie è a termini positivi (questo va considerato perché la serie potrebbe divergere in negativo e la maggiorazione sarebbe inutile allora).
Inoltre come hai detto tu (ma attenzione al segno di diseguaglianza!!!):
$0\leq (1+cos(2n))/(n!)\leq 2/(n!)$
e dato che $\sum_{n} 1/(n!)$ converge anche la serie originale lo fa.
Devi considerare questo teorema molto importante: se la serie $\sum_n a_n$ converge allora necessariamente $a_n\to 0$.
Non è in generale vero il contrario. Esempio banale: prendi $a_n=1/n$.
Paola
Inoltre come hai detto tu (ma attenzione al segno di diseguaglianza!!!):
$0\leq (1+cos(2n))/(n!)\leq 2/(n!)$
e dato che $\sum_{n} 1/(n!)$ converge anche la serie originale lo fa.
Devi considerare questo teorema molto importante: se la serie $\sum_n a_n$ converge allora necessariamente $a_n\to 0$.
Non è in generale vero il contrario. Esempio banale: prendi $a_n=1/n$.
Paola
ho svolto questa serie vorrei sapere se va bene
$ sum_(n = 1)^(oo)1/((ln n)sqrt(n^2+1)) $
so che la funzione $ln n$ è una funzione monotona crescente.
quindi
$ 1/ln n<1/(n+1)<1/n $ e sapendo che la serie $ sum_(n = 1)^(oo)1/n $ è convergente converge anche la serie data.
spero di aver fatto bene!
$ sum_(n = 1)^(oo)1/((ln n)sqrt(n^2+1)) $
so che la funzione $ln n$ è una funzione monotona crescente.
quindi
$ 1/ln n<1/(n+1)<1/n $ e sapendo che la serie $ sum_(n = 1)^(oo)1/n $ è convergente converge anche la serie data.
spero di aver fatto bene!
"Roberto81":
ho svolto questa serie vorrei sapere se va bene
$ sum_(n = 1)^(oo)1/((ln n)sqrt(n^2+1)) $
so che la funzione $ln n$ è una funzione monotona crescente.
quindi
$ 1/ln n<1/(n+1)<1/n $ e sapendo che la serie $ sum_(n = 1)^(oo)1/n $ è convergente converge anche la serie data.
spero di aver fatto bene!
... a parte il fatto che $ sum_(n = 1)^(oo)1/n $ è divergente e non convergente ...
$ sum_(n = 1)^(oo)1/((ln n)sqrt(n^2+1)) \sim sum_(n = 1)^(oo)1/((ln n)sqrt(n^2))= sum_(n = 1)^(oo)\frac{1}{n ln n } \to \mbox{diverge}$
in quanto, quest'ultima è una serie armonica generalizzata con il logaritmo, e come noto:
\begin{align*}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}=\begin{cases}
\mbox{converge} , & \mbox{se }\alpha >1, \mbox{ e per ogni }\beta \\
\mbox{converge} , & \mbox{se }\alpha =1, \mbox{ e }\beta>1\\
\mbox{diverge} , & \mbox{se }\alpha <1, \mbox{ e per ogni }\beta \\
\mbox{diverge} , & \mbox{se }\alpha =1, \mbox{ e per }\beta\le 1 \\
\end{cases}
\end{align*}
se non ricordi i questo risultato, osservando che la serie $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n ln n }$ è a termini positivi e con termine generale decrescente, puoi applicare il criterio di condensazione di Cauchy:
$ \sum_{n\ge0}a_n$ converge se e solo se converge la serie $ \sum_{n\ge0}2^na_{2^n} $
allora:
$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n ln n } \to \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2^n}{2^n ln 2^n }= \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{nln 2 }\sim\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}\to \mbox{diverge}$
grazie per la risposta mi sa solo che sto facendo un grande casino
non riesco a capire perchà la serie $1/n!$ converge mentre ho che la serie $1/n$
serie $1/n$
$S_1=A_1=1/1=1$
$S_2=A_1+A_2=1+1/2=3/2$
$S_3=A_1+A_2+A_3=1+1/2+1/3=11/6$
quindi la serie diverge!
la serie $1/(n!)$
$S_1=A_1=1/1=1$
$S_2=A_1+A_2=1+1/2=3/2$
$S_3=A_1+A_2+A_3=1+1/2+1/6=10/6=5/3$
$S_4=A_1+A_3+A_3+A_4=1+1/2+1/6+1/24=41/24$noto che il denominatore è sempre più piccolo del numeroatore quindi mi viene da pensare che questa serie diverga non che converga!
serie $1/n$
$S_1=A_1=1/1=1$
$S_2=A_1+A_2=1+1/2=3/2$
$S_3=A_1+A_2+A_3=1+1/2+1/3=11/6$
quindi la serie diverge!
la serie $1/(n!)$
$S_1=A_1=1/1=1$
$S_2=A_1+A_2=1+1/2=3/2$
$S_3=A_1+A_2+A_3=1+1/2+1/6=10/6=5/3$
$S_4=A_1+A_3+A_3+A_4=1+1/2+1/6+1/24=41/24$noto che il denominatore è sempre più piccolo del numeroatore quindi mi viene da pensare che questa serie diverga non che converga!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo