$A^\infty$

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Data la matrice \(A=\begin{pmatrix} \frac{8}{10} & \frac{3}{10} \\ \frac{2}{10} & \frac{7}{10} \end{pmatrix} \) trovo sul mio testo che si ha il limite \(A^{\infty}=\begin{pmatrix} \frac{6}{10} & \frac{6}{10} \\ \frac{4}{10} & \frac{4}{10} \end{pmatrix}\).
Dal momento che non mi sono mai trovato prima d'ora a calcolare questo tipo di limiti, volevo chiedere a chi passasse di qua come si trattano... Si calcola esplicitamente $A^k$ e si fa tendere $k\to\infty$? Chiedo conferma perché mi sembra un procedimento particolarmente calcoloso...
grazie$^\infty$ a tutti!

P.S.: Posto in Analisi perché si tratta di un limite, anche se il problema viene da un libro di algebra lineare... Mi scuso con i moderatori se la scelta del forum fosse inappropriata...

[PZf]

Se diagonalizzi la matrice riscrivendola nella forma $A=PDP^{-1}$ con $D$ diagonale noti subito che vale $A^k=PD^kP^{-1}$ e $D^k$, essendo $D$ diagonale, risulta molto facile da calcolare.

[DavideGenova1]

Che bello questo metodo!
\(A=PDP^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & \frac{3}{2} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{2}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} \) e \(D^{\infty}= \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) da cui \(A^{\infty}=PD^{\infty}P^{-1}\) è proprio la matrice data dal mio libro.
$\lim_{k\to\infty}$grazie\(^k\)!!!