Aggiuntezza di operatori differenziali
Salute a tutti, sto studiando scienza delle costruzioni, in particolare il teorema delle identità virtuali. Sicchè mi imbatto in questa definizione di aggiuntezza per gli operatori che non riesco proprio a chiarire.... Per quanto riguarda quelli algebrici lineari, il libro dice che l'aggiunto è dato dal trasposto della matrice che lo rappresenta, essendo la proprietà di aggiuntezza quella per la quale (u,Av) = (A*u,v) [dove A* è l'aggiunto di A].... con (,) prodotto scalare... Non riesco a spiegarmi perché invece il libro dica che in caso di operatori differenziali lineari oltre a trasporre bisogna cambiare il segno delle derivate di ordine dispari, giustificandolo con l'integrazione per parti, questo per spostare la derivata sull'altro campo...... il mio dubbio viene dal fatto che f'g+fg'= (fg)' e non f'g+fg'=0... qualcuno potrebbe darmi una mano a risolvere il dilemma??? mi scuso in anticipo per le formule poco tecniche, ma sono poco pratico dell'utilizzo del forum... grazie 
Risposte
Per farla facile: spesso questo tipo di operatore agisce su spazi di funzioni che si annullano al bordo del dominio.
Ad esempio, supponi di considerare funzioni di classe \(C^1\) in \([a,b]\), che si annullino in \(a\) e \(b\). Vedi subito che
\[
\int_a^b f g' = [f\cdot g]_a^b - \int_a^b f' g = -\int_a^b f' g.
\]
Ad esempio, supponi di considerare funzioni di classe \(C^1\) in \([a,b]\), che si annullino in \(a\) e \(b\). Vedi subito che
\[
\int_a^b f g' = [f\cdot g]_a^b - \int_a^b f' g = -\int_a^b f' g.
\]
grazie per la celere risposta, ma quindi nel caso non agisse su spazi di funzioni che si annullano al bordo del dominio verrebbe meno tale definizione di aggiuntezza? Inoltre, come mai utilizzi l'integrale? non è possibile fare un'analisi puntuale? Perdonami ma sono molto confuso in questo senso.
Il prodotto scalare in uno spazio di funzioni è dato tipicamente da un integrale. D'altra parte non dovrebbe sorprendere: negli spazi euclidei è dato da una sommatoria. In pratica, i tuoi vettori sono ora delle funzioni.
Puoi infatti verificare che l'applicazione che a due funzioni \(f\) e \(g\) continue (per semplicità) in \([a,b]\) associa il numero
\[
(f, g) := \int_a^b f(x) g(x) dx
\]
verifica tutte le proprietà del prodotto scalare euclideo.
Se sei interessato a queste cose puoi vedere qualche introduzione agli spazi di Hilbert.
Puoi infatti verificare che l'applicazione che a due funzioni \(f\) e \(g\) continue (per semplicità) in \([a,b]\) associa il numero
\[
(f, g) := \int_a^b f(x) g(x) dx
\]
verifica tutte le proprietà del prodotto scalare euclideo.
Se sei interessato a queste cose puoi vedere qualche introduzione agli spazi di Hilbert.
Ho capito, approfondirò senz'altro! 
.... Giusto l'ultima cosa, almeno potrò godere di una schiarita generale, se le funzioni che come tu dici, SPESSO
.... Giusto l'ultima cosa, almeno potrò godere di una schiarita generale, se le funzioni che come tu dici, SPESSO spesso questo tipo di operatore agisce su spazi di funzioni che si annullano al bordo del dominio., ma se così non dovesse essere tale definizione di aggiuntezza non varrebbe più?
Di fatto hai bisogno di condizioni che garantiscano che il termine che "avanza" dall'integrazione per parti, vale a dire \(f(b)g(b)-f(a)g(a)\), sia nullo.
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