Affermazioni di topologia di uno spazio metrico

[borto97]

Buonasera, ho trovato questo esercizio di topologia che dice: Sia $\mathbb{R}$ munito di distanza euclidea e sia $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una funzione continua. Provare o confutare le affermazioni:
1) $f(A)$ aperto $\Rightarrow A$ aperto
2) $A$ aperto $\Rightarrow f(A)$ aperto
3) $f(A)$ chiuso $\Rightarrow A$ chiuso
4) $A$ chiuso $\Rightarrow f(A)$ chiuso

Per ora ho trovato che la 1) e la 3) sono vere (non ho fatto le funzioni aperte nello specifico, ma leggendo la definizione su wikipedia mi sembra che siano vere). La 2) è sicuramente falsa, infatti basta prendere $f(x) = x^2$ e $A = (-1,1)$... si avrà $f(A) = [0,1)$ che non è aperto. Per la 4) mi verrebbe da dire che è falsa, ma non riesco a trovare un controesempio... qualcuno per caso ne conosce uno?

[Wilde1]

Mi sa che hai le idee confuse.
Prova a pensarci meglio e se vuoi mostraci le tue dimostrazioni.
Per l'ultimo punto posso consigliarti prima di prendere prima come chiuso un intervallo chiuso (e vedere cosa puoi dire in quel caso) e poi capire cosa può succede se prendi un chiuso più generico (che propietà diversa può avere un chiuso generico da un intervallo chiuso?).

[otta96]

La 3) è ovviamente vera, dal momento che ogni cosa implica sé stessa (non è che hai sbagliato a scrivere? ), comunque per la 4) prova ad aggiungere su $A$ in modo tale che l'implicazione sia vera, poi pensa se continua ad essere vera anche togliendola.
[ot]Nella tua firma c'è un errore, all'esponente manca un $-$.[/ot]

[borto97]

La 3) è ovviamente vera, dal momento che ogni cosa implica sé stessa (non è che hai sbagliato a scrivere )

Si ho sbagliato . L'affermazione corretta è $f(A)$ chiuso $\Rightarrow A$ chiuso.