Affermazione di wikipedia, $R^{2}$ spazio limitato

[salemgold]

Ciao a tutti,
sto cercando di colmare alcune lacune e spesso cerco definizioni su wiki, gradirei qualche delucidazione .
alla pagina: http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_totalmente_limitato
fa un esempio di insieme limitato ma non totalmente limitato.
afferma che $R^{2}$ è limitato (secondo la metrica scelta nell'esempio): dice questo perchè se prendo una sfera di raggio maggiore di uno tutti gli elementi di $R^{2}$ appartengono alla sfera o ho capito male?
Non colgo bene la motivazione del fatto che non è totalmente limitato.

Con la metrica usuale $d(x,y)=|x-y|$ non è limitato, quindi deduco che la limitatezza dipende dalla metrica.

Am I right?

[dissonance]

"salemgold":quindi deduco che la limitatezza dipende dalla metrica.

Am I right?

Yes. Poi quell'esempio è un fatto proprio generale: prendi un insieme non vuoto qualsiasi $X$ e definisci una funzione mediante $d(x, y)={(1, x!=y), (0, x=y):}$. Questa è una metrica, detta metrica discreta, perché lo spazio topologico che ne risulta è discreto ("discreto" è quello spazio topologico che discerne i singoli punti, ovvero in cui i singoletti ${x}$ sono aperti).

Questo spazio metrico è limitato, perché preso un punto qualsiasi $x_0\inX$, risulta che $X$ è contenuto nella sfera di centro $x_0$ e raggio $2$. Ma non è totalmente limitato, a meno che $X$ non sia un insieme finito, infatti per $0

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[salemgold]

"dissonance": perché lo spazio topologico che ne risulta

Grazie dissonance, ho capito! quindi se X è finito anche se ho un raggio piccolissimo che ricopre un singoletto alla vota, i singoletti sono finiti e quindi l'insieme è limitato e totalmente limitato. cosa intendi con la frase riportata?

[dissonance]

Tieni conto che uno spazio finito è sempre totalmente limitato, molto banalmente. Anzi uno spazio finito è il prototipo di spazio totalmente limitato (e per la verità è il prototipo dello spazio compatto). Vabbé.

Con la frase riportata intendo dire che, con la metrica $d$ definita come sopra, tutti i singoletti sono insiemi aperti. La famiglia degli aperti di uno spazio metrico si chiama topologia. Questo concetto si estende a spazi più generali degli spazi metrici, del cui studio si occupa la topologia generale.

[salemgold]

immaginavo qualcosa del genere... ma non avendo mai fatto un vero corso di topologia brancolo spesso nel buio
per me spazio topologico è un insieme corredato di una famiglia di aperti (un po' come un insieme e la sua sigma algebra, anche se so che sono ben diversi ). Da questa convinzione cerco di campare e colmare lacune quà e là...