Affermazione da dimostrare o confutare
Ciao a tutti, mi sono un po' imbattuto in questo esercizio, che chiede di dimostrare o confutare
Se una funzione reale di variabile reale ammette primitiva su un intervallo compatto, allora è ivi limitata
Per me è FALSO, poichè posso prendere la funzione $ f(x)=e^x $ e la integro sull'intervallo $x\in [0,1]$
faccio $ \int_(0)^(1)e^xdx=e^1-e^0=e-1 $
la primitiva esiste, l'intervallo è compatto.. ma la funzione NON è limitata
Oppure posso anche prendere $f(x)=x^2$ ed integrarla su $x\in [0,1]$
$ \int_(0)^(1)x^2dx=(x^3)/(3)|_(0)^(1)=1/3 $
Stessa cosa di prima, la primitiva esiste, l'intervallo è compatto.. ma la funzione NON è limitata
È giusto il mio ragionamento?
Se una funzione reale di variabile reale ammette primitiva su un intervallo compatto, allora è ivi limitata
Per me è FALSO, poichè posso prendere la funzione $ f(x)=e^x $ e la integro sull'intervallo $x\in [0,1]$
faccio $ \int_(0)^(1)e^xdx=e^1-e^0=e-1 $
la primitiva esiste, l'intervallo è compatto.. ma la funzione NON è limitata
Oppure posso anche prendere $f(x)=x^2$ ed integrarla su $x\in [0,1]$
$ \int_(0)^(1)x^2dx=(x^3)/(3)|_(0)^(1)=1/3 $
Stessa cosa di prima, la primitiva esiste, l'intervallo è compatto.. ma la funzione NON è limitata
È giusto il mio ragionamento?
Risposte
But these functions are bounded in those intervals.
"21zuclo":
Ciao a tutti, mi sono un po' imbattuto in questo esercizio, che chiede di dimostrare o confutare
Se una funzione reale di variabile reale ammette primitiva su un intervallo compatto, allora è ivi limitata
"ivi".
Il risultato a cui sei arrivato è corretto ma il ragionamento è profondamente sbagliato. A parte l'errore di interpretazione della traccia che ti è stato già fatto giustamente notare, c'è anche questo:
Una funzione \(f\colon I\to RR\) ammette primitiva se esiste una funzione derivabile \(F\colon I\to \mathbb R\) tale che \(F'(x)=f(x)\) per ogni \(x\in I\). In questi casi a volte si usa il controverso simbolo di "integrale indefinito" $F= \int f(x)\, dx,$ che io trovo gravemente fuorviante e che abolirei. Non c'entrano nulla gli integrali definiti.
Nota che, in base a questa definizione (che è quella universalmente accettata), la funzione $f(x)=e^{-x^2}$ *ammette primitiva* su tutto $RR$.
"21zuclo":
$ \int_(0)^(1)e^xdx=e^1-e^0=e-1 $
la primitiva esiste
Una funzione \(f\colon I\to RR\) ammette primitiva se esiste una funzione derivabile \(F\colon I\to \mathbb R\) tale che \(F'(x)=f(x)\) per ogni \(x\in I\). In questi casi a volte si usa il controverso simbolo di "integrale indefinito" $F= \int f(x)\, dx,$ che io trovo gravemente fuorviante e che abolirei. Non c'entrano nulla gli integrali definiti.
Nota che, in base a questa definizione (che è quella universalmente accettata), la funzione $f(x)=e^{-x^2}$ *ammette primitiva* su tutto $RR$.
You also need the interval to be open in order to be able to define the derivative of a function in a point of that interval. Otherwise you can only talk about lateral derivatives at the extreme points of the interval.
"dissonance":
Una funzione \(f\colon I\to RR\) ammette primitiva se esiste una funzione derivabile \(F\colon I\to \mathbb R\) tale che \(F'(x)=f(x)\) per ogni \(x\in I\). In questi casi a volte si usa il controverso simbolo di "integrale indefinito" $F= \int f(x)\, dx,$ che io trovo gravemente fuorviante e che abolirei. Non c'entrano nulla gli integrali definiti.
Nota che, in base a questa definizione (che è quella universalmente accettata), la funzione $f(x)=e^{-x^2}$ *ammette primitiva* su tutto $RR$.
so che questo integrale $ \int_(-\infty)^(+\infty) e^(-x^2)dx=\sqrt(\pi) $ (me l'aveva dimostrato il mio esercitatore in Analisi 2)
Quindi questa affermazione è FALSA, ma il motivo sta nella definizione di primitiva, giusto?
$f(x)=\frac{1}{2\sqrt(x)}$ è definita nell'aperto $(0;1)$ e una sua primitiva è $F(x)=\sqrt(x)$ che è ben definita nell'intervallo chiuso $[0;1]$. Ma $f$ è illimitata in tale compatto.
Anche se non sono sicuro che la domanda sia ben posta...
Comunque
Non capisco, come ti è stato fatto notare, $f(x)=e^(-x^2)$ ammette primitiva ed è limitata.... cioè in realtà rispetta la tua affermazione, non la confuta.
Anche se non sono sicuro che la domanda sia ben posta...
Comunque
"21zuclo":
so che questo integrale $ \int_(-\infty)^(+\infty) e^(-x^2)dx=\sqrt(\pi) $ (me l'aveva dimostrato il mio esercitatore in Analisi 2)
Quindi questa affermazione è FALSA, ma il motivo sta nella definizione di primitiva, giusto?
Non capisco, come ti è stato fatto notare, $f(x)=e^(-x^2)$ ammette primitiva ed è limitata.... cioè in realtà rispetta la tua affermazione, non la confuta.
"Bremen000":
$f(x)=\frac{1}{2\sqrt(x)}$ è definita nell'aperto $(0;1)$ e una sua primitiva è $F(x)=\sqrt(x)$ che è ben definita nell'intervallo chiuso $[0;1]$. Ma $f$ è illimitata in tale compatto.
Ecco il controesempio dell'affermazione
Comunque, in che senso dici che
"Bremen000":
Anche se non sono sicuro che la domanda sia ben posta...
poi
"Bremen000":
Non capisco, come ti è stato fatto notare, $f(x)=e^(-x^2)$ ammette primitiva ed è limitata.... cioè in realtà rispetta la tua affermazione, non la confuta.
quest'integrale $ \int_(-\infty)^(+\infty) e^(-x^2)dx=\sqrt(\pi) $
Lo calcoli, con gli integrali doppi, passando in coordinate polari
Che comunque ora che me lo fai notare.. questo integrale, NON ammette alcuna primitiva esprimibile con funzioni elementari..
"Bremen000":
$f(x)=\frac{1}{2\sqrt(x)}$ è definita nell'aperto $(0;1)$ e una sua primitiva è $F(x)=\sqrt(x)$ che è ben definita nell'intervallo chiuso $[0;1]$. Ma $f$ è illimitata in tale compatto.
L'intervallo $(0,1)$ non è compatto. Per un controesempio su un intervallo compatto, suggerimento: considerare la funzione
\[
F(x)=\begin{cases}
|x|^\alpha \sin\left(\frac1 {|x|}\right), & x\in [-1, 1],\ x\ne 0 \\
0, & x=0
\end{cases}
\]
Per opportuni valori di \(\alpha>0\) questa funzione è derivabile su tutto \([-1, 1]\) e la sua derivata non è limitata. Perciò \(f(x)=F'(x)\) è un controesempio.
"dissonance":
L'intervallo $(0,1)$ non è compatto.
Si, si lo so. Tuttavia il mio dubbio era proprio su questo: la primitiva è definita sul compatto ma la derivata non può essere definita su tutto il compatto o sbaglio? Se lo fosse come potrebbe non essere limitata? Magari è l'ora tarda che mi fa dire scemenze...
EDIT: Si, dicevo scemenze, non avevo pensato a funzioni del tipo
$$
f(x)= \begin{cases} 1/x \quad x \ne 0 \\ 0 \quad x=0 \end{cases} $$
The derivative can not be defined for the extreme points unless you define it in the lateral sense. Also, you can have a function differentiable on an interval and consider it in a compact subinterval. The example that dissonance gave you is a good example of this second situation and it also answers your question. It is also a typical example of differentiable function which is not $C^1$.
La funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} \frac{3}{2} \sqrt{x}\ \sin \frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\ \cos \frac{1}{x} &\text{, se } 0
\end{cases}
\]
ha primitive in $[0,1]$ e però non è limitata.
P.S.: Non avevo letto l'ultimo post di dissonance.
\[
f(x) := \begin{cases} \frac{3}{2} \sqrt{x}\ \sin \frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\ \cos \frac{1}{x} &\text{, se } 0
\end{cases}
\]
ha primitive in $[0,1]$ e però non è limitata.
P.S.: Non avevo letto l'ultimo post di dissonance.
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