Acquistare coercività indebolendo la topologia

[Fox4]

Sia $f$ un funzionale su uno spazio topologico $f:X->RR$

Si dice che $f$ è coerciva, se $\forall t\ \ {x\in X\ |\ f(x)<=t}=f^{-1}((-\infty,t])$ è incluso in $K_t\subX$, con $K_t$ limitato e chiuso.

sulla definizione ho trovato ambiguità nei testi: chi dice compatto, chi limitato e chiuso.
Ho preferito usare la seconda perchè è quella che si va a stabilire più facilmente nella pratica. Penso ad esempio ai funzionali nella fisica come l'Energia.

Il fatto di indebolire la topologia di $X$, riduce il numero degli aperti (e quindi anche il numero dei chiusi, aumentando il numero dei "neutri"), ma questo come può aiutarmi con la frase del topic?

[dissonance]

Io credo sia più opportuno richiedere che i $K_t$ siano compatti, non chiusi e limitati. Ma non so argomentare bene, aspetta l'intervento di qualche esperto vero. Comunque, se è come dico, allora il motivo per cui si acquista coercività è semplice: indebolendo la topologia aumentano i compatti.

[Fox4]

mmh, ok, mi sta bene. Così ha senso.
Mi sa che stavo facendo confusione. La compattezza non ha un significato in sè, ma dipende dalla topologia, il libro che definisce limitato e chiuso stava già guardando avanti al fatto che avrebbe indebolito la topologia... così dopo gli viene che coerciva nella topologia debole, significa che ha la controimmagine degli insiemi $(-\infty,t]$ compatta-debole;

perché, se $X$ è uno spazio di banach riflessivo, un insieme $C\subX$ limitato e chiuso, è sequenzialmente compatto nella topologia debole.

Cioè non faceva dipendere la definizione di coerciva dalla topologia. Invece se si fa dipendere la definizione dalla topologia, cioè si dice che deve essere compatto, tutto mi torna di più.

Grazie