Abuso di notazione dei simboli di Lindau

[salemgold]

Ciao a tutti!

Quando si utilizzano i simboli di Lindau si dice (o spesso si sottointende) un limite.
Ad esempio, $f(n)$ è $o(g(n))$ per $n \rightarrow \infty$, oppure $f(x)$ è $O(g(x))$ per $x\rightarrow x_0$.
Queste notazioni risultano molto utili per comparare quantità.

Ma supponiamo che io voglia comparare una costante nota $c$ e una espressione complicata che dipende da molti parametri $f(\alpha,\beta, c,t)$. Supponiamo sia noto che $f(\alpha,\beta, c,t)$ è $o(1/t)$ per $t\rightarrow \infty$. Il problema è che non posso assumere che $t$ vada ad infinito, ma ho che $t
Io vorrei dire una cosa del genere: sto comparando una costante con una quantità complicata, ma so che è $o(1/t)$. Quindi, anche se non posso mandare $t$ ad infinito, posso ASPETTARMI (è un discorso qualitativo) che ad un certo punto $c$ sia più grande di $f(\alpha,\beta, c,t)$ facendo crescere $t$ anche se $t
Mi pare di commettere un abusaccio di notazione nel dire $f(\alpha,\beta, c,t)$ è $o(1/t)$ quindi ad un certo punto $f(\alpha,\beta, c,t) < c$, pur non potendo mandare $t$ ad infinito. Infatti questo non è vero se $M$ è troppo piccolo o se $c$ è troppo piccolo, ma quelli sono casi strani e io sto cercando di dare l'intuizione del perché $f(\alpha,\beta, c,t) < c$.

Non so se ci sono altre notazioni più consone o se è qualcosa che avete visto in precedenza.
Consigli?

salemgold

[gugo82]

Semplicemente devi chiarire il significato del simbolo \(\text{o}(1/t)\), perché da quanto scrivi non sembra possibile che \(t\to \infty\)... Ed in tal caso la notazione di Landau non avrebbe alcun significato, o meglio se \(t

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[salemgold]

Capisco, però se paragono una costante $c$ a $O(1)$ uno perde qualsiasi intuizione di cosa voglio dire.
Invece io voglio dire che, ok $t$ non va a infinito, ma sto paragonando $c$ con una quantità $o(1/t)$ che diventa molto piccola in fretta!
dire $c > o(1/t)$ non ha senso, ma voglio comunque dire che $o(1/t)$ è qualcosa di "migliore" di $c$ se uno vuole una piccola quantità e non sa $c$ o $t \in \mathcal{N}$ (ma sa che $t

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[gugo82]

"salemgold":Capisco, però se paragono una costante $c$ a $O(1)$ uno perde qualsiasi intuizione di cosa voglio dire.
Invece io voglio dire che, ok $t$ non va a infinito, ma sto paragonando $c$ con una quantità $o(1/t)$ che diventa molto piccola in fretta!

Molto piccola... Dove?
Altrimenti è tutto senza alcun senso.

[salemgold]

Ciao Gugo82,

sul fatto che non sia un discorso rigoroso concordiamo.

Ma se ti proponessi un gioco il cui obiettivo è scegliere senza pensarci troppo la quantità più piccola tra:
1) una costante $c=0.15$
2) una quantità $q=\frac{1}{T \ln(T)}$ dove $T$ è estratto a caso (con uniforme distribuzione di probabilità) su $I=\{2,\cdots,25\}$.

Abbiamo che $q$ è $o(1/T)$ per $T\rightarrow \infty$, MA $T$ non va a infinito nel nostro caso. NONOSTANTE CIO', intuitivamente (supponiamo non si sappia nulla di probabilità, ma ci affidiamo solo all'intuizione) una quantità che va a zero è più piccola di una fissata, quindi io sceglierei opzione 2 senza pensarci troppo ma solo considerando che è $o(1/T)$.

E sceglierei opzione 2 anche se $c$ fosse una variabile casuale continua su $[0,1]$, perché comunque opzione 2 diventa piccola molto in fretta.

E sceglierei opzione 2 anche se $c$ fosse una variabile casuale continua su $[0,1]$ e $I=\{2,\cdots, X\}$ dove $X$ è estratto a caso (uniformemente) su $\{2,\cdots,50\}$, perché i casi in cui $c
Sto fondando queste considerazioni semplicemente sul fatto che $q$ è $o(1/T)$, ANCHE SE $T$ non va a infinito.

Mi chiedo se quello che dico ha abbastanza senso o se esiste un altro modo matematico per spiegare questo concetto.
Ovviamente potrei presentare la vera lunghissima forma di $q$e studiare quando essa è minore di $c$ e ottenere un risultato astruso ricco di parametri ma preciso, ma non è quello che voglio. A me basta dire che intuitivamente $q$ è minore di $c$.

[gugo82]

Il discorso in sè ha poco senso.
La quantità che hai sotto mano è limitata ed il simbolo \(\text{o}(1/t)\) semplicemente non si può usare per denotare questo fatto.

Inoltre, se \(q(t)=\frac{1}{t\ln t}\) con \(t\in [2,25]\), allora \(Q=\frac{1}{2\ln 2}\approx 0.721\) è il "peggior" (nel senso di "più grande") upper bound che puoi proporre per \(q\).
Altra cosa è trovare/stimare il valore medio per \(q(\cdot)\), immaginata come funzione di una variabile casuale \(T\)... Questo problema si risolve con tecniche standard di Probabilità.
Altro ancora è determinare/stimare con quale probabilità il valore scelto \(c\) è superiore al valore assunto dalla variabile casuale \(q\), intesa come funzione dell'altra variabile casuale \(T\).

Sono problemi che si risolvono proprio con tecniche diverse. Sta a te dire chiaramente qual è il problema che ti interessa analizzare/risolvere, senza proporre usi barocchi di simboli e senza mischiare cose che non c'entrano le une con le altre.