Abbastanza facile... carino... non saprei... giudica david..

[Principe2]

Dimostrare (se è vero) che il logaritmo integrale maggiora la cardinalità dell'insieme degli interi della forma $2^a3^b,a,b\geq0$. Ovvero che definitivamente risulta $\int_2^nfrac{dt}{lnt}\geq|{s\leq n, s=2^a3^b,a,b,\geq0}|$

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":Dimostrare (se è vero) che il logaritmo integrale maggiora la cardinalità dell'insieme degli interi della forma $2^a3^b,a,b\geq0$. Ovvero che definitivamente risulta $\int_2^nfrac{dt}{lnt}\geq|{s\leq n, s=2^a3^b,a,b,\geq0}|$

Fissato $n \in \mathbb{Z}^+$, siano $S_n := \{(a,b) \in \mathbb{N}^2: 2^a \cdot 3^b \le n\}$ e $G_n := \{(a,b) \in \mathbb{N}^2: 2^{a+b} \le n\}$. Allora evidentemente $S_n \subseteq G_n$, e perciò $|S_n| \le |G_n| = \sum_{k=0}^{m_n} ( \sum_{a+b = k} 1)$, se $m_n := $floor$(\ln(n)/\ln(2))$. Ne risulta determinato un $\alpha \in \mathbb{R}^+$ tale che $|S_n| \le \alpha \cdot \ln^2(n)$, per ogni intero $n \ge 2$. D'altro canto, nelle stesse assunzioni: $\int_2^n \frac{dt}{\ln(t)} \ge \frac{n-1}{\ln(n)} - \frac{1}{\ln(2)}$, e perciò definitivamente $\int_2^n \frac{dt}{\ln(t)} > |S_n|$, q.e.d.

P.S.: problema quantomeno più interessante delle due altre disuguaglianze che avevi proposto in precedenza, ubermensch.