A volte ritornano. LImiti di successione.
Buongiorno a tutti. Sto rispolverando i limiti di successione dato che a breve inizierò a preparare analisi 2. MI sono imbattuto in un limite di successione che non riesco a risolvere 
, o almeno non riesco a risolvere correttamente. Ho provato di tutto, tranne ovviamente la strada per la giusta soluzione. Qualcuno può aiutarmi?
$ lim_(n -> +oo ) \frac{ln(2*sin(\frac{pin+pi}{6n+3}))}{ln((\frac{2}{\sqrt{3}})*cos(\frac{pin+pi}{6n+2}))} $
, o almeno non riesco a risolvere correttamente. Ho provato di tutto, tranne ovviamente la strada per la giusta soluzione. Qualcuno può aiutarmi? $ lim_(n -> +oo ) \frac{ln(2*sin(\frac{pin+pi}{6n+3}))}{ln((\frac{2}{\sqrt{3}})*cos(\frac{pin+pi}{6n+2}))} $
Risposte
Poni \[ t = \frac {\pi n + \pi} {6n + 3} \]
Quando \[ n \to + \infty , \ t \to \frac {\pi} {6} \]
Ora noti che l'argomento del logaritmo tende ad 1; e quindi ingegnosamente scrivi gli argomenti dei logaritmi come:
\[ \ln (2 \sin t) = \ln (1 + (2 \sin t - 1)) , \ \ln \frac {2 \cos t} {\sqrt(3)} = \ln ( 1 + (\frac {2 \cos t} {\sqrt(3)} - 1) ) \]
Lascio il resto a te
Quando \[ n \to + \infty , \ t \to \frac {\pi} {6} \]
Ora noti che l'argomento del logaritmo tende ad 1; e quindi ingegnosamente scrivi gli argomenti dei logaritmi come:
\[ \ln (2 \sin t) = \ln (1 + (2 \sin t - 1)) , \ \ln \frac {2 \cos t} {\sqrt(3)} = \ln ( 1 + (\frac {2 \cos t} {\sqrt(3)} - 1) ) \]
Lascio il resto a te
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