A proposito di integrali curiosi

[Sk_Anonymous]

Ve ne propongo uno anch'io ,non difficilissimo ma nemmeno tanto immediato.
Forse questi esercizi non piacciono a tutti e non servono a molto
ma io mi ci diverto un mondo!!
$int (sinx)/[e^x+sinx+cosx]dx=?$
Archimede

[Kroldar]

caspita... ti faccio i complimenti se sei in grado di trovare la primitiva di questa funzione

[Nidhogg]

Ponendo $e^x=t$, si ha:

$int (sin(ln(t))/(t+sin(ln(t))+cos(ln(t))))*(1/t) dt = int sin(ln(t))/(t*(t+sin(ln(t))+cos(ln(t)))) dt = -ln((cos(ln(t))+sin(ln(t))+t)/t)/2$

Sostituendo la $t$ si ottiene:

$-ln((cos(ln(t))+sin(ln(t))+t)/t)/2 = -ln((cos(ln(e^x))+sin(ln(e^x))+e^x)/(e^x))/2 = x/2 - ln(e^x + cos(x) + sin(x))/2 + k$

$d/(dx) (x/2 - ln(e^x + cos(x) + sin(x))/2 + k) = sin(x)/(e^x+sin(x)+cos(x))$

[blackdie]

secondo me viene

$SIN(x)·LN(COS(x) + SIN(x) + t)$

[Sk_Anonymous]

La risposta di Leonardo e' quella giusta ,anche se manca qualche passaggio
chiarificatore nel primo rigo.
Tanto per la precisione, nell'integrazione occorre ricordare che l'argomento del
log. va considerato in modulo specie se l'integrale e' definito.Prendete ad esempio
$int_(-e^2)^(-e) 1/xdx$,se non si esprime l'argomento in modulo sono pasticci (log(-e^2) e log(-e) non esistono in R) mentre l'integrale esiste in quanto rappresenta ,a meno del segno,l'area del trapezoide tra l'asse x e l'iperbole y=1/x nell'intervallo [-e^2,-e].
In seguito posto la mia soluzione (che poi tanto mia non e' visto che l'ho copiata!):puo'
interessare per il metodo che usa.
Archimede.