A proposito del teorema delle contrazioni
Supponiamo mi ritrovi a lavorare con funzioni \(F\) che non sono contrazioni sebbene risultino non `espansive', cioe' funzioni per cui valga
\[d(F\,x,\,F\,y) < d(x,\,y)\]
Addio Banach-Caccioppoli -manca un'ipotesi.
\[F(x) = x + \frac{1}{x}\]
fa parte di questo tipo di funzioni. Mi chiedo comunque se abbia un punto fisso in \(X = [1,\,+\infty)\). Come posso verificare che non ne abbia?
Io userei la definizione stessa di punto fisso, dicendo che se il punto fisso \(x^*\) ci fosse, risulterebbe
\[x^* = x^* + \frac{1}{x^*}\,; \tag{\(\clubsuit\)}\]
il che e' impossibile.
Ma allora perche' il mio professore, nello stesso identico contesto ha tirato fuori \(f'\)?...
D'altrocanto, non mi sembra proprio stranissimo: se \(f' \equiv 1\), per qualche \(x\), il tasso di crescita delle immagini sarebbe lo stesso delle preimmagini, e avrei qualche punto fisso; il fatto che \(f'\) sia sempre diversa da \(1\) nello spazio \([1,\,+\infty)\) dovrebbe permettermi di dire che non ho punti fissi in tutto \(X\).
Ma ripeto: non bastava fare la considerazione \((\clubsuit)\)?
\[d(F\,x,\,F\,y) < d(x,\,y)\]
Addio Banach-Caccioppoli -manca un'ipotesi.
\[F(x) = x + \frac{1}{x}\]
fa parte di questo tipo di funzioni. Mi chiedo comunque se abbia un punto fisso in \(X = [1,\,+\infty)\). Come posso verificare che non ne abbia?
Io userei la definizione stessa di punto fisso, dicendo che se il punto fisso \(x^*\) ci fosse, risulterebbe
\[x^* = x^* + \frac{1}{x^*}\,; \tag{\(\clubsuit\)}\]
il che e' impossibile.
Ma allora perche' il mio professore, nello stesso identico contesto ha tirato fuori \(f'\)?...
D'altrocanto, non mi sembra proprio stranissimo: se \(f' \equiv 1\), per qualche \(x\), il tasso di crescita delle immagini sarebbe lo stesso delle preimmagini, e avrei qualche punto fisso; il fatto che \(f'\) sia sempre diversa da \(1\) nello spazio \([1,\,+\infty)\) dovrebbe permettermi di dire che non ho punti fissi in tutto \(X\).
Ma ripeto: non bastava fare la considerazione \((\clubsuit)\)?
Risposte
Ovviamente basta \((\clubsuit)\). Probabilmente il tuo professore voleva far vedere che la funzione in questione non è una contrazione.
Se una funzione ha derivata uguale a \(1\) in qualche punto non è detto che abbia punti fissi; ad esempio, \(f(x) = x+1\) ha derivata sempre uguale a \(1\) ma si guarda bene dall'avere punti fissi.
Se una funzione ha derivata uguale a \(1\) in qualche punto non è detto che abbia punti fissi; ad esempio, \(f(x) = x+1\) ha derivata sempre uguale a \(1\) ma si guarda bene dall'avere punti fissi.
"Rigel":
Ovviamente basta \((\clubsuit)\). Probabilmente il tuo professore voleva far vedere che la funzione in questione non è una contrazione.
...mi viene spontanea: e se \(X\) fosse stato un intervallo compatto? Allora varrebbe Banach-Caccioppoli, corretto?
La derivata \(f'\) e' monotona crescente, quindi di certo
\[\forall{\varepsilon}>0,\,\forall{x} \in [1, \xi] \\ \left|\,f'\,\right| \le f'\,(\xi + \varepsilon) < 1\]
il che fa di \(f\) una contrazione. Ho un punto fisso quindi?... \((\clubsuit)\) mi da ancora problemi in realta'.
@Del: ti ringrazio per la segnalazione. Piu' tardi gli daro' un'occhiata piu' attenta
Ti ricordo che devi avere una contrazione \(f: X\to X\), con \(X\) spazio metrico completo.
Nel tuo caso, se ti restringessi a un intervallo compatto \(X = [1,b]\), con \(b>1\), non avresti che \(f(X) \subseteq X\).
Nel tuo caso, se ti restringessi a un intervallo compatto \(X = [1,b]\), con \(b>1\), non avresti che \(f(X) \subseteq X\).
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