\((a_n) \to l \neq 0\) e \(\forall n: a_n\neq 0\) allora \(\frac{1}{(a_n)}\) é limitata
Salve a tutti,
non riesco proprio a dimostrare o a trovare un input adeguato per questa proprietá
p.s.=chiedo scusa a gugo82, ho modificato tutta la questione rispetto alla originaria
non riesco proprio a dimostrare o a trovare un input adeguato per questa proprietá
\((a_n) \to l \neq 0\) e \(\forall n: a_n\neq 0\) allora \(\frac{1}{(a_n)}\) é limitata
qualcuno potrebbe aiutarmi solo nel trovare un giusto input per partire sperando di concluderla...p.s.=chiedo scusa a gugo82, ho modificato tutta la questione rispetto alla originaria
Risposte
Beh, basta che \(\displaystyle \inf_{n\in \mathbb{N}} a_n >0\).
Dimostra che $b_n=1/{a_n}$ è una successione reale convergente (ad 1/l).
Inoltre dimostra che una generica successione $b_n$ convergente è limitata.
Inoltre dimostra che una generica successione $b_n$ convergente è limitata.
Grazie per la risposta, ma è proprio per dimostrare quella convergenza che mi serve prima dimostrare questo (ovviamente ho un mio percorso..)
P.s.=qualcuno può dirmi perché, prima di cancellarlo, ho postato un messaggio come garnak.olegovirc ?
P.s.=qualcuno può dirmi perché, prima di cancellarlo, ho postato un messaggio come garnak.olegovirc ?
"Noris":
P.s.=qualcuno può dirmi perché, prima di cancellarlo, ho postato un messaggio come garnak.olegovirc ?
non ti abituare... ahaha sono comunque i misteri di matematicamente, a me pure è successo...
Interessante, a me non è mai successo.
Comunque ora mi è chiaro il tuo quesito originale.
A te serve che la successione sia lontana da zero, vero?
Se cosi, assumi l>0. Siccome $a_n$ converge ad l esiste N tale che da quell'indice in avanti (per ogni $n>N$), $a_n>l/2$.
Dunque, da li in poi la successione é lontana da zero. Invece fino ad N (per $n<=N$), hai un numero finito di indici; sono dunque anchessi lontani da zero.
Infine essendo la successione lontana da zero, la successione dei reciproci è limitata.
Comunque ora mi è chiaro il tuo quesito originale.
A te serve che la successione sia lontana da zero, vero?
Se cosi, assumi l>0. Siccome $a_n$ converge ad l esiste N tale che da quell'indice in avanti (per ogni $n>N$), $a_n>l/2$.
Dunque, da li in poi la successione é lontana da zero. Invece fino ad N (per $n<=N$), hai un numero finito di indici; sono dunque anchessi lontani da zero.
Infine essendo la successione lontana da zero, la successione dei reciproci è limitata.
Chiaro.. grazie mille!
oppure, sapendo che \((a_n)\) converge ad \(l \neq 0\) si sa che la successione \(\left ((a-l)_n \right )\) é [url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Null_Sequence_(Analysis)]successione nulla[/url], quindi \( \forall \epsilon >0 \,\, \exists m \Bbb N \,\,\forall n \geq m : |(a-l)(n)|<\epsilon \). Ora \((a_n) \to l \neq 0\) e prendendo \( \frac{|l|}{2}\), il quale certamente é maggiore di zero in questo caso e quindi anche \(\frac{2}{|l|} >0\), esiste un \(m\) tale che \(|(a-l)(n)-0|<\frac{|l|}{2} \, ,\forall n \geq m\), e con un pó di calcoli, sapendo che \(a(n) \neq 0\) quindi anche \(|a(n)|>0\) e \(\frac{1}{|a(n)|} >0\), si ottiene: \begin{align*}
|(a-l)(n) -0|&<\frac{|l|}{2}\\
|l| - |a(n)|\leq|l - a(n)|=|a(n)-l|&<\frac{|l|}{2}\\
-|a(n)|&<\frac{|l|}{2}-|l| \\
-\frac{|l|}{2}+|l|&<|a(n)| \\
\frac{|l|}{2}&<|a(n)| \\
\left |\frac{1}{a(n)}\right|=\frac{|1|}{|a(n)|}=\frac{1}{|a(n)|}&<\frac{2}{|l|} \\
\left |\frac{1}{a(n)}\right|&\leq\frac{2}{|l|}
\end{align*} ora ció é valido per ogni \(n \geq m\), cioé la successione é definitivamente limitata (ma non limitata, nel senso della definizione), a questo punto ti basta considerare, avendo che \(\forall n \in \Bbb N : a(n) \neq 0\) quindi esistono gli inversi che in valore assoluto sono maggiori di zero, l´insieme \(\mathcal{O}:=\left \{ \frac{1}{|a(n)|} : n0\), considera ora l´insieme \(\mathcal{P}:= \left \{ \max(\mathcal{O}), \frac{2}{|l|}\right \} \) e anche qui esiste un \(\max(\mathcal{P})>0\) da qui la conclusione che \(\left | \frac{1}{a(n)} \right |\leq \max(\mathcal{P}), \, \forall n \in \Bbb N\) e per la proprietá che tu stesso avevi mostrato hai che é limitata..
P.s.=Posta il procedimento che stai usando per mostrare che il quoziente di due successioni convergenti, tali che bla bla bla, tende al quoziente dei loro limiti... sono curioso, io avrei una mezza idea per sfruttare nella tua dimostrazione la limitatezza di una successione inversa..
|(a-l)(n) -0|&<\frac{|l|}{2}\\
|l| - |a(n)|\leq|l - a(n)|=|a(n)-l|&<\frac{|l|}{2}\\
-|a(n)|&<\frac{|l|}{2}-|l| \\
-\frac{|l|}{2}+|l|&<|a(n)| \\
\frac{|l|}{2}&<|a(n)| \\
\left |\frac{1}{a(n)}\right|=\frac{|1|}{|a(n)|}=\frac{1}{|a(n)|}&<\frac{2}{|l|} \\
\left |\frac{1}{a(n)}\right|&\leq\frac{2}{|l|}
\end{align*} ora ció é valido per ogni \(n \geq m\), cioé la successione é definitivamente limitata (ma non limitata, nel senso della definizione), a questo punto ti basta considerare, avendo che \(\forall n \in \Bbb N : a(n) \neq 0\) quindi esistono gli inversi che in valore assoluto sono maggiori di zero, l´insieme \(\mathcal{O}:=\left \{ \frac{1}{|a(n)|} : n
P.s.=Posta il procedimento che stai usando per mostrare che il quoziente di due successioni convergenti, tali che bla bla bla, tende al quoziente dei loro limiti... sono curioso, io avrei una mezza idea per sfruttare nella tua dimostrazione la limitatezza di una successione inversa..
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