$a_n to +infty, b_n to L>0 Rightarrow a_n b_n to + infty$
ciao a tutti, volevo chiedere conferma riguardo il mio tentativo di dimostrazione
utilizzo il seguente fatto (semplice generalizzazione della permanenza del segno)
$a_n to L>M Rightarrow exists N in bbbN : a_n>M$ $forall n>N$
e analogamente
$a_n to LN$
Prova Preso $epsilon=L-M>0$ esiste $N in bbbN$ tale che $a_n in (L-L+M,L+L-M)=(M,2L-M)$ $forall n>N$ cioè $a_n>M$$forall n>N$. Analogamente l'altra scegliendo $epsilon=M-L$.
uso la prima per dimostrare
(*) $a_n to + infty, b_n to L>0 rArr a_n b_n to + infty$
Prova Sia $beta$ non nullo tale che $L>beta$ $rArr$ $exists N_beta in bbbN: b_n > beta forall n>N_beta$.
Ora $forall M in bbbR exists N in bbbN: a_n>M/beta$ pertanto $forall n > text{max}{N_beta,N}$ si ha $a_n b_n>M/beta beta=M$
Funziona? Non mi pare venga usata l'ipotesi $L>0$.
utilizzo il seguente fatto (semplice generalizzazione della permanenza del segno)
$a_n to L>M Rightarrow exists N in bbbN : a_n>M$ $forall n>N$
e analogamente
$a_n to L
Prova Preso $epsilon=L-M>0$ esiste $N in bbbN$ tale che $a_n in (L-L+M,L+L-M)=(M,2L-M)$ $forall n>N$ cioè $a_n>M$$forall n>N$. Analogamente l'altra scegliendo $epsilon=M-L$.
uso la prima per dimostrare
(*) $a_n to + infty, b_n to L>0 rArr a_n b_n to + infty$
Prova Sia $beta$ non nullo tale che $L>beta$ $rArr$ $exists N_beta in bbbN: b_n > beta forall n>N_beta$.
Ora $forall M in bbbR exists N in bbbN: a_n>M/beta$ pertanto $forall n > text{max}{N_beta,N}$ si ha $a_n b_n>M/beta beta=M$
Funziona? Non mi pare venga usata l'ipotesi $L>0$.
Risposte
La usi senza accorgertene. Ti serve che quel $\beta$ sia positivo, altrimenti la diseguaglianza che deduci alla fine (i.e. $a_n b_n >M/\beta \beta $) sarebbe falsa; se $L>0$, come supponi, $\beta$ lo puoi prendere positivo 
Forse ho capito...
Devo provare $a_n to +infty, b_n to L>0 rArr a_n b_n to + infty$
Per definizione
$a_n to + infty rArr forall M in bbbR exists N_M in bbbN: a_n>M forall n>N_M$
per la permanenza del segno
$b_n to L>0 rArr exists nu in bbbN: b_n>0 forall n>nu$
pertanto $forall n>text{max}{N_M,nu}$
$a_n b_n > M b_n$
(il fatto che posso moltiplicare ambo i membri della disequazione per $b_n$ senza cambiarne il verso è dato dalla positività di questo)
ora $b_n$ è convergente e quindi limitata (in particolare inferiormente), per cui
$exists K in bbbR : b_n>K forall n in bbbN$
da cui ottengo
$a_n b_n > M K forall n>text{max}{N_M,nu}$
scelto $M_1:=M/K$ ottengo
$a_n b_n > M forall n>N:=text{max}{N_{M_1},nu}$
Devo provare $a_n to +infty, b_n to L>0 rArr a_n b_n to + infty$
Per definizione
$a_n to + infty rArr forall M in bbbR exists N_M in bbbN: a_n>M forall n>N_M$
per la permanenza del segno
$b_n to L>0 rArr exists nu in bbbN: b_n>0 forall n>nu$
pertanto $forall n>text{max}{N_M,nu}$
$a_n b_n > M b_n$
(il fatto che posso moltiplicare ambo i membri della disequazione per $b_n$ senza cambiarne il verso è dato dalla positività di questo)
ora $b_n$ è convergente e quindi limitata (in particolare inferiormente), per cui
$exists K in bbbR : b_n>K forall n in bbbN$
da cui ottengo
$a_n b_n > M K forall n>text{max}{N_M,nu}$
scelto $M_1:=M/K$ ottengo
$a_n b_n > M forall n>N:=text{max}{N_{M_1},nu}$
grazie Plepp, stavo scrivendo il nuovo post mentre tu hai risposto 
hai ragione, difatti me ne ero accorto. ora provo gli altri casi
hai ragione, difatti me ne ero accorto. ora provo gli altri casi
No, c'è lo stesso problema di prima: sai che da un certo indice in poi $a_n>M_1=M/K$, ok, e sai che $b_n>K$ sempre. Quando fai il prodotto, il "verso" della disuguaglianza si mantiene solo se le robe che moltiplichi sono positive; in particolare $K$ dev'essere positivo per poter giungere alla conclusione cui sei giunto tu.
La prima dimostrazione andava bene, devi solo far notare che $\beta$ lo puoi scegliere positivo, essendo $L>0$. Puoi scegliere semplicemente $\beta =L/2>0$. Sai che da un certo indice in poi, diciamo $\nu_1$, $b_n>L/2$; fissato poi $M\in RR$, da un certo indice $\nu_2$ in poi avrai $a_n>M/(L"/"2)$. Dunque per ogni $n\ge \nu:=\max\{\nu_1,\nu_2\}$ avrai
\[a_nb_n>\dfrac{M}{L/2}L/2=M\]
La prima dimostrazione andava bene, devi solo far notare che $\beta$ lo puoi scegliere positivo, essendo $L>0$. Puoi scegliere semplicemente $\beta =L/2>0$. Sai che da un certo indice in poi, diciamo $\nu_1$, $b_n>L/2$; fissato poi $M\in RR$, da un certo indice $\nu_2$ in poi avrai $a_n>M/(L"/"2)$. Dunque per ogni $n\ge \nu:=\max\{\nu_1,\nu_2\}$ avrai
\[a_nb_n>\dfrac{M}{L/2}L/2=M\]
"marco.bre":
grazie Plepp, stavo scrivendo il nuovo post mentre tu hai risposto
Idem. Spero di essere stato chiaro
Ti faccio notare che è sufficiente assumere che $b_n$ sia definitivamente maggiore di un certo numero positivo (i.e. $b_n>k>0$ per ogni $n$ maggiore di un certo $\nu \in NN$), non ti serve che converga.
ero venuto proprio per correggere! 
capito, capito. ho rifatto lo stesso giochino con la dimostrazione $a_n to + infty,b_n to L<0 rArr a_n b_n to - infty$; lì si vede subito che l'ipotesi $L<0$ è necessaria
capito, capito. ho rifatto lo stesso giochino con la dimostrazione $a_n to + infty,b_n to L<0 rArr a_n b_n to - infty$; lì si vede subito che l'ipotesi $L<0$ è necessaria
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo