$A$ compatto $\implies$ $A$ chiuso e limitato

[Plepp]

Salve ragazzi,
a lezione abbiamo caratterizzato i compatti di $RR$ come tutti e soli gli insiemi $A\subseteq RR$ chiusi e limitati.

Il Prof. però ci ha accennato che l'implicazione [$A$ compatto $\implies $ $A$ chiuso e limitato] sussiste qualunque sia lo spazio metrico con cui abbiamo a che fare. Ho tentato la dimostrazione, considerando uno spazio metrico $(E,d)$, e ho provato che se $A\subseteq E$ è compatto allora $A$ è chiuso. Per dimostrare che $A$ è limitato (o meglio, per parlare di sottoinsiemi limitati di $E$...) non dovrei aver a che fare con uno spazio metrico ordinato?

[Kashaman]

sai, mi sa che c'hai ragione. Altrimenti non penso abbia senso parlare di limitatezza.
Penso che $A$ compatto $=>$ $A$ chiuso. Possa fare a meno dell'ordine, ma $A$ compatto $=>$ $A$ limitato no.

[Plepp]

Già avrò capito male io probabilmente...

[gugo82]

E che c'entra l'ordine (che è un fatto algebrico) con la limitatezza (che è un fatto metrico)?

Uno spazio metrico \((X,d)\) si dice limitato se e solo se \(\sup_{x\in X} d(x,x_0)<\infty\) per qualche \(x_0\in X\).
Un sottoinsieme \(S\subseteq X\) è limitato se e solo se esso è uno spazio metrico limitato con la metrica indotta da \(X\), il che equivale a dire che esiste almeno una palla aperta di \(X\) che contenga \(S\).

[Plepp]

Non abbiamo definito in questo senso* la limitatezza di un insieme, ché altrimenti non avrei posto la domanda
Però mi chiedevo se, appunto, esistesse una definizione - così naturale - di limitatezza come quella che hai enunciato tu.

*abbiamo solo parlato, ad esempio, di insieme limitato superiormente come quell'insieme che ha dei maggioranti.