[6/2/15] [tex]\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+x\sin(x)-\cos(2x)-e^{3x^{2}}}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-\cos(x)}[/tex]
Sto svolgendo il limite
[tex]\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+x\sin(x)-\cos(2x)-e^{3x^{2}}}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-\cos(x)}[/tex]
proseguendo in tal maniera
[tex]\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+x\sin(x)-\cos(2x)-e^{3x^{2}}}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-\cos(x)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+x(x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}))-(1-\frac{4x^{2}}{2}+o(x^{2}))-(1+3x^{3}+o(x^{2}))}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-(1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}))}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+x^{2}-\frac{x^{4}}{6}+o(x^{4})-1+2x^{2}+o(x^{2})-1-3x^{2}-o(x^{2})}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-1+\frac{x^{2}}{2}-o(x^{2})}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\frac{x^{4}}{6}+o(x^{4})}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-1+\frac{x^{2}}{2}-o(x^{2})}[/tex]
mi blocco all'analisi di [tex]e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}[/tex]. Farne lo sviluppo di Taylor non mi pare molto fattibile, e liquidarlo riconducendolo ad un limite notevole mi pare azzardato visto quel che ha detto il moderatore TeM nella discussione:
viewtopic.php?f=36&t=169598
ovvero che si può applicare tranquillamente nel prodotto di limiti, ma nella somma di limiti bisogna fare molta attenzione
[tex]\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+x\sin(x)-\cos(2x)-e^{3x^{2}}}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-\cos(x)}[/tex]
proseguendo in tal maniera
[tex]\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+x\sin(x)-\cos(2x)-e^{3x^{2}}}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-\cos(x)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+x(x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}))-(1-\frac{4x^{2}}{2}+o(x^{2}))-(1+3x^{3}+o(x^{2}))}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-(1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}))}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+x^{2}-\frac{x^{4}}{6}+o(x^{4})-1+2x^{2}+o(x^{2})-1-3x^{2}-o(x^{2})}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-1+\frac{x^{2}}{2}-o(x^{2})}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\frac{x^{4}}{6}+o(x^{4})}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-1+\frac{x^{2}}{2}-o(x^{2})}[/tex]
mi blocco all'analisi di [tex]e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}[/tex]. Farne lo sviluppo di Taylor non mi pare molto fattibile, e liquidarlo riconducendolo ad un limite notevole mi pare azzardato visto quel che ha detto il moderatore TeM nella discussione:
viewtopic.php?f=36&t=169598
ovvero che si può applicare tranquillamente nel prodotto di limiti, ma nella somma di limiti bisogna fare molta attenzione
Risposte
Ho trovato molto chiara la tua spiegazione sugli o piccolo, grazie.
Invece per quanto riguarda la seconda parte del tuo messaggio, è stato un tuo errore scrivere
[tex]e(1+x)^{\frac{1}{x}}[/tex]
anziché
[tex]e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}[/tex]
come era invece nella traccia dell'esercizio?
Invece per quanto riguarda la seconda parte del tuo messaggio, è stato un tuo errore scrivere
[tex]e(1+x)^{\frac{1}{x}}[/tex]
anziché
[tex]e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}[/tex]
come era invece nella traccia dell'esercizio?
Stavo svolgendo gli esercizi delle vecchie discussioni, quando mi sono accorto di non aver mai terminato questo esercizio, perciò eccomi qui
[tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{2+x\sin(x)-\cos(2x)-e^{3x^{2}}}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-\cos(x)}[/tex]
Sviluppo separatamente il pezzo [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}[/tex] [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\ln((1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}})}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\frac{\ln(1-x^{2})}{x^{2}}}[/tex] applico gli sviluppi [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\frac{\ln(1-x^{2})}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\frac{-x^{2}-\frac{(-x^{2})^{2}}{2}+o(x^{4})}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\frac{-x^{2}-\frac{x^{4}}{2}+o(x^{4})}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\frac{-x^{2}(1+o(1))}{x^{2}}}=e\cdot e^{-1}=1[/tex]
Quindi procedo con [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{2+x\sin(x)-\cos(2x)-e^{3x^{2}}}{1-\cos(x)}[/tex] ed applico gli sviluppi [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{2+x(x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}))-(1-\frac{(2x)^{2}}{2}+o(x^{2}))-(1+3x^{2}+o(x^{2}))}{1-(1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}))}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{2+x^{2}-\frac{x^{4}}{6}-1+2x^{2}-1-3x^{2}+o(x^{2})}{\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{-\frac{x^{4}}{6}+o(x^{2})}{\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{-\frac{x^{4}}{6}(1+o(1))}{\frac{x^{2}}{2}(1+o(1))}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}-\frac{x^{2}}{3}=0[/tex]
Tuttavia Wolfram Alpha dice che il risultato è[tex]\frac{64}{3}[/tex]
Dove ho sbagliato?
[tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{2+x\sin(x)-\cos(2x)-e^{3x^{2}}}{e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}-\cos(x)}[/tex]
Sviluppo separatamente il pezzo [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}[/tex] [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}e(1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\ln((1-x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}})}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\frac{\ln(1-x^{2})}{x^{2}}}[/tex] applico gli sviluppi [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\frac{\ln(1-x^{2})}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\frac{-x^{2}-\frac{(-x^{2})^{2}}{2}+o(x^{4})}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\frac{-x^{2}-\frac{x^{4}}{2}+o(x^{4})}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e\cdot e^{\frac{-x^{2}(1+o(1))}{x^{2}}}=e\cdot e^{-1}=1[/tex]
Quindi procedo con [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{2+x\sin(x)-\cos(2x)-e^{3x^{2}}}{1-\cos(x)}[/tex] ed applico gli sviluppi [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{2+x(x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}))-(1-\frac{(2x)^{2}}{2}+o(x^{2}))-(1+3x^{2}+o(x^{2}))}{1-(1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}))}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{2+x^{2}-\frac{x^{4}}{6}-1+2x^{2}-1-3x^{2}+o(x^{2})}{\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{-\frac{x^{4}}{6}+o(x^{2})}{\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{-\frac{x^{4}}{6}(1+o(1))}{\frac{x^{2}}{2}(1+o(1))}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}-\frac{x^{2}}{3}=0[/tex]
Tuttavia Wolfram Alpha dice che il risultato è[tex]\frac{64}{3}[/tex]
Dove ho sbagliato?
Ciao Caterpillar,
Ha ragione WolframAlpha. Non ho guardato tutti i calcoli, ma vedo subito un errore di concetto: non puoi passare al limite solo per quello che ti conviene (mi riferisco al primo pezzo al denominatore) e poi passare al limite un'altra volta dopo lo sviluppo del coseno al denominatore. Quando si passa al limite si passa al limite...
Ha ragione WolframAlpha. Non ho guardato tutti i calcoli, ma vedo subito un errore di concetto: non puoi passare al limite solo per quello che ti conviene (mi riferisco al primo pezzo al denominatore) e poi passare al limite un'altra volta dopo lo sviluppo del coseno al denominatore. Quando si passa al limite si passa al limite...
Grazie, allora ora mi metto a tentar di risolvere adeguatamente il denominatore, poi vi farò sapere
Ho provato anche ad applicare l'Hopital ma non riesco a ricavare alcuna forma che porti al risultato di $64/3$
A numeratore:
\[
\begin{split}
x \sin x &= x^2 - \frac{1}{6} x^4 + \text{o}(x^5)\\
\cos 2x &= 1 -2x^2 + \frac{2}{3} x^4 + \text{o}(x^5)\\
e^{3x^2} &= 1 + 3x^2 + \frac{9}{2} x^4 +\text{o}(x^5)\\
\hline
2+x\sin x -\cos 2x - e^{3x^2} &= -\frac{16}{3} x^4 +\text{o}(x^4)
\end{split}
\]
mentre a denominatore:
\[
\begin{split}
e(1-x^2)^{1/x^2} &= e^{1+\frac{1}{x^2} \log(1-x^2)} \\
&= e^{1-1 -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3} x^4+ \text{o}(x^4)}\\
&= 1-\frac{1}{2} x^2 - \frac{5}{24} x^4 + \text{o}(x^4)\\
\cos x &= 1 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{24} x^4 + \text{o}(x^5)\\
\hline
e(1-x^2)^{1/x^2} - \cos x&= - \frac{1}{4}x^4 + \text{o}(x^4)
\end{split}
\]
ed il risultato segue senza sforzo.
\[
\begin{split}
x \sin x &= x^2 - \frac{1}{6} x^4 + \text{o}(x^5)\\
\cos 2x &= 1 -2x^2 + \frac{2}{3} x^4 + \text{o}(x^5)\\
e^{3x^2} &= 1 + 3x^2 + \frac{9}{2} x^4 +\text{o}(x^5)\\
\hline
2+x\sin x -\cos 2x - e^{3x^2} &= -\frac{16}{3} x^4 +\text{o}(x^4)
\end{split}
\]
mentre a denominatore:
\[
\begin{split}
e(1-x^2)^{1/x^2} &= e^{1+\frac{1}{x^2} \log(1-x^2)} \\
&= e^{1-1 -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3} x^4+ \text{o}(x^4)}\\
&= 1-\frac{1}{2} x^2 - \frac{5}{24} x^4 + \text{o}(x^4)\\
\cos x &= 1 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{24} x^4 + \text{o}(x^5)\\
\hline
e(1-x^2)^{1/x^2} - \cos x&= - \frac{1}{4}x^4 + \text{o}(x^4)
\end{split}
\]
ed il risultato segue senza sforzo.
"gugo82":
A numeratore:
mentre a denominatore:
\[
\begin{split}
&= e^{1-1 -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3} x^4+ \text{o}(x^4)}\\
&= 1-\frac{1}{2} x^2 - \frac{5}{24} x^4 + \text{o}(x^4)\\
\end{split}
\]
In questo passaggio, per caso hai applicato lo sviluppo di Taylor di $e^x$ per $x->0$?
Ovvio.
Ok ora ci sono riuscito, non mi veniva il risultato a causa di un errore di ricopiatura.
Grazie!
Grazie!
Nel rifare l'esercizio più volte, per prendere praticità, sono incappato in dubbi circa fino a dove è consigliabile spingersi nell'uso dei termini degli sviluppi di Taylor. Come evidenziato nel messaggio viewtopic.php?f=36&t=169738#p8280942 , affinché il risultato dell'esercizio sia [tex]\frac{64}{3}[/tex], il corretto sviluppo del termine [tex]e\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=e\cdot e^{\ln\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}}=e\cdot e^{\frac{1}{x^{2}}\ln\left(1-x^{2}\right)}=e^{1+\frac{1}{x^{2}}\ln\left(1-x^{2}\right)}[/tex] deve essere [tex]1-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{24}x^{4}+o\left(x^{4}\right)[/tex]. Gli sviluppi di Taylor vengono applicati due volte a quel termine: una per [tex]\ln\left(1-x^{2}\right)[/tex] ed una per [tex]e^{u}[/tex] dove u è il risultato della prima applicazione.
Ora a seconda dell'uso di un determinato grado degli sviluppi di Taylor del logaritmo, il risultato cambia, stravolgendo il risultato finale dell'intero esercizio.
Prima versione: dato che ho notato che con gli esercizi del docente, basta arrivare ad un termine [tex]x^{4}[/tex] per far riuscire l'esercizio, mi sono limitato ad applicare lo sviluppo del logaritmo fino al secondo termine
[tex]e^{1+\frac{1}{x^{2}}\ln\left(1-x^{2}\right)}=e^{1+\frac{1}{x^{2}}\left(-x^{2}-\frac{\left(-x^{2}\right)^{2}}{2}+o\left(x^{4}\right)\right)}=e^{1+\left(-1-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)\right)}=e^{-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)}[/tex]
Applico nuovamente lo sviluppo di Taylor del tipo [tex]e^{u}[/tex] quindi [tex]1+\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)^{2}\right)+o\left(x^{4}\right)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{8}+o\left(x^{4}\right)[/tex] che è diverso da [tex]1-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{24}x^{4}+o\left(x^{4}\right)[/tex] che ci si aspettava. Per far venire tale risultato devo procedere nella seguente maniera.
Seconda versione: la prima applicazione dello sviluppo di Taylor del logaritmo deve proseguire fino al terzo termine [tex]e^{1+\frac{1}{x^{2}}\ln\left(1-x^{2}\right)}=e^{1+\frac{1}{x^{2}}\left(-x^{2}-\frac{\left(-x^{2}\right)^{2}}{2}+\frac{\left(-x^{2}\right)^{3}}{3}+o\left(x^{6}\right)\right)}=e^{1+\left(-1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}+o\left(x^{4}\right)\right)}=e^{-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}+o\left(x^{4}\right)}[/tex]
Applico nuovamente lo sviluppo di Taylor del tipo [tex]e^{u}[/tex] quindi [tex]1+\left(-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}\right)^{2}+o\left(x^{8}\right)=1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}+\frac{1}{2}\left(+\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{8}}{9}+2\cdot\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)\cdot\left(-\frac{x^{4}}{3}\right)\right)+o\left(x^{8}\right)=1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}+\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{8}}{18}+o\left(x^{8}\right)\Rightarrow1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{5}{24}x^{4}+o\left(x^{4}\right)[/tex]
Cosa mi consigliate di fare per non sbagliare le prossime volte?
Grazie
Ora a seconda dell'uso di un determinato grado degli sviluppi di Taylor del logaritmo, il risultato cambia, stravolgendo il risultato finale dell'intero esercizio.
Prima versione: dato che ho notato che con gli esercizi del docente, basta arrivare ad un termine [tex]x^{4}[/tex] per far riuscire l'esercizio, mi sono limitato ad applicare lo sviluppo del logaritmo fino al secondo termine
[tex]e^{1+\frac{1}{x^{2}}\ln\left(1-x^{2}\right)}=e^{1+\frac{1}{x^{2}}\left(-x^{2}-\frac{\left(-x^{2}\right)^{2}}{2}+o\left(x^{4}\right)\right)}=e^{1+\left(-1-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)\right)}=e^{-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)}[/tex]
Applico nuovamente lo sviluppo di Taylor del tipo [tex]e^{u}[/tex] quindi [tex]1+\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)^{2}\right)+o\left(x^{4}\right)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{8}+o\left(x^{4}\right)[/tex] che è diverso da [tex]1-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{24}x^{4}+o\left(x^{4}\right)[/tex] che ci si aspettava. Per far venire tale risultato devo procedere nella seguente maniera.
Seconda versione: la prima applicazione dello sviluppo di Taylor del logaritmo deve proseguire fino al terzo termine [tex]e^{1+\frac{1}{x^{2}}\ln\left(1-x^{2}\right)}=e^{1+\frac{1}{x^{2}}\left(-x^{2}-\frac{\left(-x^{2}\right)^{2}}{2}+\frac{\left(-x^{2}\right)^{3}}{3}+o\left(x^{6}\right)\right)}=e^{1+\left(-1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}+o\left(x^{4}\right)\right)}=e^{-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}+o\left(x^{4}\right)}[/tex]
Applico nuovamente lo sviluppo di Taylor del tipo [tex]e^{u}[/tex] quindi [tex]1+\left(-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}\right)^{2}+o\left(x^{8}\right)=1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}+\frac{1}{2}\left(+\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{8}}{9}+2\cdot\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)\cdot\left(-\frac{x^{4}}{3}\right)\right)+o\left(x^{8}\right)=1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{3}+\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{8}}{18}+o\left(x^{8}\right)\Rightarrow1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{5}{24}x^{4}+o\left(x^{4}\right)[/tex]
Cosa mi consigliate di fare per non sbagliare le prossime volte?
Grazie
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