[6/2/15] [tex]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{\frac{\log(n)}{n}+1}-e^{\frac{1}{n!}+\log(n)}}{(\log(n))^{2}}[/tex]
Sto svolgendo l'esercizio
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{\frac{\log(n)}{n}+1}-e^{\frac{1}{n!}+\log(n)}}{(\log(n))^{2}}[/tex]
Ho provato ad applicare qualche proprietà dei logaritmi su alcuni pezzi della traccia come
[tex]e^{\ln(n^{\frac{\log(n)}{n}+1})}=e^{(\frac{\log(n)}{n}+1)\ln(n)}[/tex] tuttavia poi ci si ritrova sempre allo stesso punto di prima.. ovvero [tex]n^{\frac{\log(n)}{n}+1}[/tex]
Come mi suggerite di procedere? Grazie
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{\frac{\log(n)}{n}+1}-e^{\frac{1}{n!}+\log(n)}}{(\log(n))^{2}}[/tex]
Ho provato ad applicare qualche proprietà dei logaritmi su alcuni pezzi della traccia come
[tex]e^{\ln(n^{\frac{\log(n)}{n}+1})}=e^{(\frac{\log(n)}{n}+1)\ln(n)}[/tex] tuttavia poi ci si ritrova sempre allo stesso punto di prima.. ovvero [tex]n^{\frac{\log(n)}{n}+1}[/tex]
Come mi suggerite di procedere? Grazie
Risposte
Numeratore (dopo il passaggio da te fatto):
$e^(log^2n/n+logn)-e^(1/(n!)+logn)$
$e^(log^2n/n)e^logn-e^(1/(n!))e^logn$
$e^logn(e^(log^2n/n)-e^(1/(n!)))$
$n*e^(1/(n!))(e^((log^2n/n-1/(n!)))-1)$
ora:
$log^2n/n-1/(n!) \rightarrow 0$ se $n\rightarrow \infty$
posso ricondurmi al limite notevole
$(e^(f(x))-1)/(f(x))=1$ che vale quando $f(x) \rightarrow 0$
$n*e^(1/(n!))(e^((log^2n/n-1/(n!)))-1)/(log^2n/n-1/(n!))*(n!log^2n-n)/(n*n!log^2n)$
$e^(1/(n!))(e^((log^2n/n-1/(n!)))-1)/(log^2n/n-1/(n!))*(n!log^2n(1-n/(n(n-1)!log^2n)))/(n!log^2n)$
che fa 1.
Spero i calcoli siano giusti
$e^(log^2n/n+logn)-e^(1/(n!)+logn)$
$e^(log^2n/n)e^logn-e^(1/(n!))e^logn$
$e^logn(e^(log^2n/n)-e^(1/(n!)))$
$n*e^(1/(n!))(e^((log^2n/n-1/(n!)))-1)$
ora:
$log^2n/n-1/(n!) \rightarrow 0$ se $n\rightarrow \infty$
posso ricondurmi al limite notevole
$(e^(f(x))-1)/(f(x))=1$ che vale quando $f(x) \rightarrow 0$
$n*e^(1/(n!))(e^((log^2n/n-1/(n!)))-1)/(log^2n/n-1/(n!))*(n!log^2n-n)/(n*n!log^2n)$
$e^(1/(n!))(e^((log^2n/n-1/(n!)))-1)/(log^2n/n-1/(n!))*(n!log^2n(1-n/(n(n-1)!log^2n)))/(n!log^2n)$
che fa 1.
Spero i calcoli siano giusti
Grazie, tuttavia della formula
non ho capito bene il passaggio che porta ad avere
$*(n!log^2n-n)/(n*n!log^2n)$
"Ziben":
$n*e^(1/(n!))(e^((log^2n/n-1/(n!)))-1)/(log^2n/n-1/(n!))*(n!log^2n-n)/(n*n!log^2n)$
non ho capito bene il passaggio che porta ad avere
$*(n!log^2n-n)/(n*n!log^2n)$
Per poter applicare il limite notevole ho moltiplicato e diviso per $log^2n/n-1/(n!)$
La parte che divide l'ho associata al limite notevole, mentre nella parte che moltiplica ho portato a denominatore comune:
$(n!log^2n-n)/(n*n!)$
Poi ho moltiplicato per $1/log^2n$ già presente nell'espressione di cui si vuole calcolare il limite;
$(n!log^2n-n)/(n*n!log^2n)$
La parte che divide l'ho associata al limite notevole, mentre nella parte che moltiplica ho portato a denominatore comune:
$(n!log^2n-n)/(n*n!)$
Poi ho moltiplicato per $1/log^2n$ già presente nell'espressione di cui si vuole calcolare il limite;
$(n!log^2n-n)/(n*n!log^2n)$
Riprendendo il discorso, della traccia
[tex]\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{n^{\frac{\log(n)}{n}+1}-e^{\frac{1}{n!}+\log(n)}}{(\log(n))^{2}}[/tex]
perdonate se verso la fine del post non metterò la nomenclatura matematica di dove tende il limite, ma se la mettessi, essa finirebbe spostata verso destra sotto l'argomento del limite.
Eseguo il numeratore tralasciando momentaneamente il denominatore per comodità
[tex]e^{\log\left(n^{\frac{\log\left(n\right)}{n}+1}\right)}-e^{\frac{1}{n!}+\log\left(n\right)}=e^{\left(\frac{\log\left(n\right)}{n}+1\right)\log\left(n\right)}-e^{\frac{1}{n!}+\log\left(n\right)}=e^{\frac{\log^{2}\left(n\right)}{n}+\log\left(n\right)}-e^{\frac{1}{n!}+\log\left(n\right)}=e^{\log\left(n\right)}\left(e^{\frac{\log^{2}\left(n\right)}{n}}-e^{\frac{1}{n!}}\right)=[/tex]
[tex]=e^{\log\left(n\right)}\left(e^{\frac{1}{n!}}\left(e^{\frac{\log^{2}\left(n\right)}{n}-\frac{1}{n!}}-1\right)\right)=e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\left(e^{\frac{\log^{2}\left(n\right)}{n}-\frac{1}{n!}}-1\right)=e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\left(e^{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}-1\right)=e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\left(e^{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}-1\right)\frac{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}=[/tex]
[tex]=e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\cdot\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}\cdot\frac{e^{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}-1}{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}=e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\cdot\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}\cdot\frac{e^{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}-1}{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}=[/tex]
[tex]\lim e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\cdot\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}=\lim e^{\frac{n!\log\left(n\right)+1}{n!}}\cdot\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}=\lim e^{\frac{n!\left(\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}\right)}{n!}}\cdot\frac{n!\left(\log^{2}\left(n\right)-\frac{n}{n!}\right)}{n\cdot n!}=\lim e^{\frac{n!\left(\log\left(n\right)+o\left(\log\left(n\right)\right)\right)}{n!}}\cdot\frac{n!\left(\log^{2}\left(n\right)-o\left(\log^{2}\left(n\right)\right)\right)}{n\cdot n!}=[/tex]
[tex]=\lim e^{\left(\log\left(n\right)+o\left(\log\left(n\right)\right)\right)}\cdot\frac{\left(\log^{2}\left(n\right)-o\left(\log^{2}\left(n\right)\right)\right)}{n}=\lim\left(n+o\left(n\right)\right)\cdot\frac{\left(\log^{2}\left(n\right)-o\left(\log^{2}\left(n\right)\right)\right)}{n}=\lim\log^{2}\left(n\right)-o\left(\log^{2}\left(n\right)\right)[/tex]
ora riprendiamo anche il denominatore [tex]\lim\frac{\log^{2}\left(n\right)-o\left(\log^{2}\left(n\right)\right)}{\log^{2}\left(n\right)}=1[/tex]
Potreste dare un'occhiata agli errori che sento di aver commesso sugli o-piccoli?
Sono sconfortato, non ho mai visto in vita mia un limite così lungo!!!
[tex]\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{n^{\frac{\log(n)}{n}+1}-e^{\frac{1}{n!}+\log(n)}}{(\log(n))^{2}}[/tex]
perdonate se verso la fine del post non metterò la nomenclatura matematica di dove tende il limite, ma se la mettessi, essa finirebbe spostata verso destra sotto l'argomento del limite.
Eseguo il numeratore tralasciando momentaneamente il denominatore per comodità
[tex]e^{\log\left(n^{\frac{\log\left(n\right)}{n}+1}\right)}-e^{\frac{1}{n!}+\log\left(n\right)}=e^{\left(\frac{\log\left(n\right)}{n}+1\right)\log\left(n\right)}-e^{\frac{1}{n!}+\log\left(n\right)}=e^{\frac{\log^{2}\left(n\right)}{n}+\log\left(n\right)}-e^{\frac{1}{n!}+\log\left(n\right)}=e^{\log\left(n\right)}\left(e^{\frac{\log^{2}\left(n\right)}{n}}-e^{\frac{1}{n!}}\right)=[/tex]
[tex]=e^{\log\left(n\right)}\left(e^{\frac{1}{n!}}\left(e^{\frac{\log^{2}\left(n\right)}{n}-\frac{1}{n!}}-1\right)\right)=e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\left(e^{\frac{\log^{2}\left(n\right)}{n}-\frac{1}{n!}}-1\right)=e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\left(e^{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}-1\right)=e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\left(e^{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}-1\right)\frac{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}=[/tex]
[tex]=e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\cdot\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}\cdot\frac{e^{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}-1}{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}=e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\cdot\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}\cdot\frac{e^{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}-1}{\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}}=[/tex]
[tex]\lim e^{\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}}\cdot\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}=\lim e^{\frac{n!\log\left(n\right)+1}{n!}}\cdot\frac{n!\cdot\log^{2}\left(n\right)-n}{n\cdot n!}=\lim e^{\frac{n!\left(\log\left(n\right)+\frac{1}{n!}\right)}{n!}}\cdot\frac{n!\left(\log^{2}\left(n\right)-\frac{n}{n!}\right)}{n\cdot n!}=\lim e^{\frac{n!\left(\log\left(n\right)+o\left(\log\left(n\right)\right)\right)}{n!}}\cdot\frac{n!\left(\log^{2}\left(n\right)-o\left(\log^{2}\left(n\right)\right)\right)}{n\cdot n!}=[/tex]
[tex]=\lim e^{\left(\log\left(n\right)+o\left(\log\left(n\right)\right)\right)}\cdot\frac{\left(\log^{2}\left(n\right)-o\left(\log^{2}\left(n\right)\right)\right)}{n}=\lim\left(n+o\left(n\right)\right)\cdot\frac{\left(\log^{2}\left(n\right)-o\left(\log^{2}\left(n\right)\right)\right)}{n}=\lim\log^{2}\left(n\right)-o\left(\log^{2}\left(n\right)\right)[/tex]
ora riprendiamo anche il denominatore [tex]\lim\frac{\log^{2}\left(n\right)-o\left(\log^{2}\left(n\right)\right)}{\log^{2}\left(n\right)}=1[/tex]
Potreste dare un'occhiata agli errori che sento di aver commesso sugli o-piccoli?
Sono sconfortato, non ho mai visto in vita mia un limite così lungo!!!
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