[6/12/14 n. 9] [tex]\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin(2x))-2x}{1-\sqrt{1+4x^{3}}}[/tex]
Il risultato dell'esercizio [tex]\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin(2x))-2x}{1-\sqrt{1+4x^{3}}}[/tex] deve essere [tex]\frac{4}{3}[/tex]
Ho proceduto così: applico gli sviluppi di Taylor
[tex]\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)-2x}{1-1+\frac{1}{2}4x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)-2x}{2x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}=\infty[/tex]
Dove sbaglio?
Ho proceduto così: applico gli sviluppi di Taylor
[tex]\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)-2x}{1-1+\frac{1}{2}4x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)-2x}{2x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}=\infty[/tex]
Dove sbaglio?
Risposte
Bisogna porre attenzione a non considerare $sin (sin (2x))~sin (2x) $, otterrebbe uno sviluppo in serie errato , infatti si ha $sin (sin (2x))=2x-(8x^3)/3+o (x^3) $, pertanto il limite diventa $lim_(x->0)(2x-(8x^3)/3-2x )/(2x^3)=4/3$
Quando c'e' una differenza di infinitesimi bisogna sempre ricorrere a taylor, qui l'unico errore in cui si puo facilmente incorrere e' quello di considerare $sin(sin (2x))~sin (2x)$, in quanto si perderebbero informazioni sullo sviluppo asintotico ottenendo così un risultato errato, infatti $lim_(x->0)(sin2(x)-2x)/(2x^3)=lim_(x->0)(2x-(8x^3)/6-2x)/(2x^3)=2/3$
Quando c'e' una differenza di infinitesimi bisogna sempre ricorrere a taylor, qui l'unico errore in cui si puo facilmente incorrere e' quello di considerare $sin(sin (2x))~sin (2x)$, in quanto si perderebbero informazioni sullo sviluppo asintotico ottenendo così un risultato errato, infatti $lim_(x->0)(sin2(x)-2x)/(2x^3)=lim_(x->0)(2x-(8x^3)/6-2x)/(2x^3)=2/3$
"francicko":
Bisogna porre attenzione a non considerare $sin (sin (2x))~sin (2x) $, otterrebbe uno sviluppo in serie errato , infatti si ha $sin (sin (2x))=2x-(8x^3)/3+o (x^3) $,
Sono abituato a calcolare gli sviluppi di Taylor a mano, tuttavia stavolta mi sfugge come esca fuori il termine $-(8x^3)/3$
$sin (2x)=2x-(8x^3)/6+o (x^3)~2x-(8x^3)/6$
$sin(2x-(8x^3)/6)=(2x-(8x^3)/6)-(2x-(8x^3)/6)^3/6+o(x^3)=2x-(8x^3)/6-(8x^3)/6+o (x^3)=2x-(8x^3)/3+o (x^3)~2x-(8x^3)/3$
$sin(2x-(8x^3)/6)=(2x-(8x^3)/6)-(2x-(8x^3)/6)^3/6+o(x^3)=2x-(8x^3)/6-(8x^3)/6+o (x^3)=2x-(8x^3)/3+o (x^3)~2x-(8x^3)/3$
Perfetto grazie mille
È dimostrabile per via "elementare"(ossia senza ricorrere al Marchese ne agli sviluppi di Taylor ma a stime deducibili da interessanti considerazioni geometriche presenti da qualche parte in questo Forum),che $EElim_("x" to 0) ("x-senx")/("x"^3)=1/6$;
da ciò è importabile,aggiungendo e sottraendo $"sen2x"$ al numeratore della tua funzione argomento per poi moltiplicarla e dividerla per il "coniugato" del suo denominatore,la sua convergenza al valore da voi indicato:
lo dico per chi si volesse cimentare,per questioni già sollevate in passato o per semplice curiosità,al calcolo di quel limite senza ricorrere alla formula di Taylor.
Saluti dal web.
da ciò è importabile,aggiungendo e sottraendo $"sen2x"$ al numeratore della tua funzione argomento per poi moltiplicarla e dividerla per il "coniugato" del suo denominatore,la sua convergenza al valore da voi indicato:
lo dico per chi si volesse cimentare,per questioni già sollevate in passato o per semplice curiosità,al calcolo di quel limite senza ricorrere alla formula di Taylor.
Saluti dal web.
x theras.
Assolutamente no!! Un limite di quel tipo $lim_(x->0)(x-sinx)/(x^3) $, non puo' essere calcolato con metodi elementari, in quanto vengono coinvolti termini successivi, al termine in $x $ dello sviluppo in serie, pertanto gli unici strumenti che risultano utili sono lo sviluppo in serie di taylor ed Hopital, qualsiasi tentativo di soluzione senza l'uso degli strumenti citati e' inutile ed in ogni caso risultera' errato!
Assolutamente no!! Un limite di quel tipo $lim_(x->0)(x-sinx)/(x^3) $, non puo' essere calcolato con metodi elementari, in quanto vengono coinvolti termini successivi, al termine in $x $ dello sviluppo in serie, pertanto gli unici strumenti che risultano utili sono lo sviluppo in serie di taylor ed Hopital, qualsiasi tentativo di soluzione senza l'uso degli strumenti citati e' inutile ed in ogni caso risultera' errato!
"francicko":
x theras.
Assolutamente no!! Un limite di quel tipo $lim_(x->0)(x-sinx)/(x^3) $, non puo' essere calcolato con metodi elementari, in quanto vengono coinvolti termini successivi, al termine in $x $ dello sviluppo in serie, pertanto gli unici strumenti che risultano utili sono lo sviluppo in serie di taylor ed Hopital, qualsiasi tentativo di soluzione senza l'uso degli strumenti citati e' inutile ed in ogni caso risultera' errato!
Lo credevo pure io:
fino a quando non ho trovato proprio su questo forum un interessante malloppo in merito,
che m'ha stupito e che appena possibile posterò.
Saluti dal web.
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