[6/12/14 n. 8] [tex]\lim_{x\to3^{+}}\frac{\arctan(x)-\arctan(6-x)}{\log(x)-\log(6-x)}[/tex]
Come conviene procedere con il seguente, limite, devo calcolare gli sviluppi di Taylor con centro 3?
[tex]\lim_{x\to3^{+}}\frac{\arctan(x)-\arctan(6-x)}{\log(x)-\log(6-x)}[/tex]
[tex]\lim_{x\to3^{+}}\frac{\arctan(x)-\arctan(6-x)}{\log(x)-\log(6-x)}[/tex]
Risposte
Potrebbe anche essere visto come il rapporto delle derivate, ovvero:
$\frac{(\arctan(x))'}{(\ln(x))'}|_{x=3}$
$\frac{(\arctan(x))'}{(\ln(x))'}|_{x=3}$
"dan95":
Potrebbe anche essere visto come il rapporto delle derivate, ovvero:
$\frac{(\arctan(x))'}{(\ln(x))'}|_{x=3}$
Potresti gentilmente mostrarmi questa risoluzione? Mi interessa molto, grazie.
Se chiamiamo $f(x):=\arctan(x)$ e $g(x):=\ln(x)$, ponendo $t=3-x$:
$\lim_{t \rightarrow 0^{-}} \frac{-2t}{-2t}\cdot\frac{f(3-t)-f(3+t)}{g(3-t)-g(3+t)}=\lim_{t \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{f(3+t)-f(3-t)}{2t}}{\frac{g(3+t)-g(3-t)}{2t}}=\lim_{t \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{f(3+t)-f(3)+f(3)-f(3-t)}{2t}}{\frac{g(3+t)-g(3)+g(3)-g(3-t)}{2t}}=\lim_{t \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{1}{2}(\frac{f(3+t)-f(3)}{t}+\frac{f(3)-f(3-t)}{t})}{\frac{1}{2}(\frac{g(3+t)-g(3)}{t}+\frac{g(3)-g(3-t)}{t})}=$...
$...
$\lim_{t \rightarrow 0^{-}} \frac{-2t}{-2t}\cdot\frac{f(3-t)-f(3+t)}{g(3-t)-g(3+t)}=\lim_{t \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{f(3+t)-f(3-t)}{2t}}{\frac{g(3+t)-g(3-t)}{2t}}=\lim_{t \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{f(3+t)-f(3)+f(3)-f(3-t)}{2t}}{\frac{g(3+t)-g(3)+g(3)-g(3-t)}{2t}}=\lim_{t \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{1}{2}(\frac{f(3+t)-f(3)}{t}+\frac{f(3)-f(3-t)}{t})}{\frac{1}{2}(\frac{g(3+t)-g(3)}{t}+\frac{g(3)-g(3-t)}{t})}=$...
$...
Sto provando, l'altro approccio, quello con i polinomi di Taylor.
Siccome lo sviluppo di [tex]arctan(x)[/tex] fino al secondo ordine è
[tex]\arctan(x)+\frac{1}{x_{0}^{2}+1}(x-x_{0})-\frac{2x_{0}}{(x_{0}^{2}+1)^{2}}(x-x_{0})^{2}\frac{1}{2!}[/tex]
e mettendo [tex]x_{0}=3[/tex] si ha
[tex]\arctan(3)+\frac{1}{10}(x-3)-\frac{3}{100}(x-3)^{2}[/tex]
Siccome lo sviluppo di [tex]arctan(6-x)[/tex] fino al secondo ordine è
[tex]\arctan(6-x_{0})+\frac{1}{(6-x_{0})^{2}+1}(x-(6-x_{0}))-\frac{2x_{0}}{((6-x_{0})^{2}+1)^{2}}(x-(6-x_{0}))^{2}\frac{1}{2!}[/tex]
e nuovamente mettendo [tex]x_{0}=3[/tex] si ha
[tex]\arctan(3)+\frac{1}{10}(x-3)-\frac{3}{100}(x-3)^{2}[/tex]
Allora la differenza tra le due cose verrà zero. Stessa cosa al denominatore con i logaritmi. Perciò si avrà [tex]\frac{0}{0}[/tex], dunque procedo con Hopital, derivo sopra e sotto, ma mi ritrovo nuovamente una cosa come
[tex]\lim_{x\to3^{+}}\frac{\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{(6-x)^{2}+1}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{6-x}}[/tex]
che fa uscire sempre una cosa del tipo
[tex]\frac{0}{0}[/tex]
Siccome lo sviluppo di [tex]arctan(x)[/tex] fino al secondo ordine è
[tex]\arctan(x)+\frac{1}{x_{0}^{2}+1}(x-x_{0})-\frac{2x_{0}}{(x_{0}^{2}+1)^{2}}(x-x_{0})^{2}\frac{1}{2!}[/tex]
e mettendo [tex]x_{0}=3[/tex] si ha
[tex]\arctan(3)+\frac{1}{10}(x-3)-\frac{3}{100}(x-3)^{2}[/tex]
Siccome lo sviluppo di [tex]arctan(6-x)[/tex] fino al secondo ordine è
[tex]\arctan(6-x_{0})+\frac{1}{(6-x_{0})^{2}+1}(x-(6-x_{0}))-\frac{2x_{0}}{((6-x_{0})^{2}+1)^{2}}(x-(6-x_{0}))^{2}\frac{1}{2!}[/tex]
e nuovamente mettendo [tex]x_{0}=3[/tex] si ha
[tex]\arctan(3)+\frac{1}{10}(x-3)-\frac{3}{100}(x-3)^{2}[/tex]
Allora la differenza tra le due cose verrà zero. Stessa cosa al denominatore con i logaritmi. Perciò si avrà [tex]\frac{0}{0}[/tex], dunque procedo con Hopital, derivo sopra e sotto, ma mi ritrovo nuovamente una cosa come
[tex]\lim_{x\to3^{+}}\frac{\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{(6-x)^{2}+1}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{6-x}}[/tex]
che fa uscire sempre una cosa del tipo
[tex]\frac{0}{0}[/tex]
de l'Hopital è giusto hai sbagliato i segni
"dan95":
de l'Hopital è giusto hai sbagliato i segni
Applicando Hopital mi ritrovo
[tex]\frac{\frac{-12x+36}{x^{4}-12x^{3}+38x^{2}-12x+37}}{\frac{-2x+6}{-x^{2}+6x}}[/tex]
ed sostituendo [tex]3^{+}[/tex] mi viene sempre [tex]\frac{0}{0}[/tex]
La derivata di $\arctan(x)-\arctan(6-x)$ è $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{(6-x)^2+1}$, quella di $\ln(x)-\ln(6-x)$ invece è $\frac{1}{x}+\frac{1}{6-x}$ fai il limite del loro rapporto e vedrai che viene 3/10
Perfetto grazie
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