[6/12/14 n. 2] limiti di sottosuccesioni di [tex]z_{n}=(i)^{n!}+3\cos(\pi n)\frac{(n+1)!}{n!(2n+3)}[/tex]
Un esercizio mi impone di trovare tutti i limiti di sottosuccesioni di
[tex]z_{n}=(i)^{n!}+3\cos(\pi n)\frac{(n+1)!}{n!(2n+3)}[/tex]
Come bisogna procedere in tal caso? Ero abituato a fare i limiti di successioni, ma non di sottosuccessioni messe poi nella forma [tex]z_{n}[/tex]
[tex]z_{n}=(i)^{n!}+3\cos(\pi n)\frac{(n+1)!}{n!(2n+3)}[/tex]
Come bisogna procedere in tal caso? Ero abituato a fare i limiti di successioni, ma non di sottosuccessioni messe poi nella forma [tex]z_{n}[/tex]
Risposte
Prima di cominciare ricordiamo un teorema...
Teorema Una successione ${a_n}_n$ ammette limite $l \in RRuu{+\infty,-\infty}$ se e solo se ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite $l$.
Studiamo innanzitutto il primo addendo $a_n=i^{n!}$
Vediamo che per $n>3$ $a_n=1$ una successione costante (e quindi monotona) che quindi convergerà dunque per il teorema citato prima anche ogni sua sottosuccessione avrà lo stesso limite 1.
Passiamo al secondo addendo $\cos(\pi n)\frac{(n+1)!}{n!(2n+3)}=3\cos(\pi n)\frac{n+1}{2n+3}$, il fattore $3\frac{n+1}{2n+3}$ convergerà al limite $3/2$ quindi essendo ammettendo limite anche ogni sua sottosuccessione convergerà a 3/2, l'unica rogna è $b_n=\cos(\pi n)$ ma basta considerare le sottosuccessioni $b_{2k}$ che converge 1 e $b_{2k+1}$ dispari che converge a -1[nota]Considera che ogni sottosuccessione convergente di $\cos(\pi n)$ può convergere solo a 1 o a -1 che è proprio la classe limite della successione $Cl={1,-1}$[/nota] . Quindi dette $z_{2k}$ e $z_{2k+1}$ le due sottosuccessioni di $z_n$, avremo che $z_{2k} \rightarrow 5/2$ e $z_{2k+1} \rightarrow -1/2$
Teorema Una successione ${a_n}_n$ ammette limite $l \in RRuu{+\infty,-\infty}$ se e solo se ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite $l$.
Studiamo innanzitutto il primo addendo $a_n=i^{n!}$
Vediamo che per $n>3$ $a_n=1$ una successione costante (e quindi monotona) che quindi convergerà dunque per il teorema citato prima anche ogni sua sottosuccessione avrà lo stesso limite 1.
Passiamo al secondo addendo $\cos(\pi n)\frac{(n+1)!}{n!(2n+3)}=3\cos(\pi n)\frac{n+1}{2n+3}$, il fattore $3\frac{n+1}{2n+3}$ convergerà al limite $3/2$ quindi essendo ammettendo limite anche ogni sua sottosuccessione convergerà a 3/2, l'unica rogna è $b_n=\cos(\pi n)$ ma basta considerare le sottosuccessioni $b_{2k}$ che converge 1 e $b_{2k+1}$ dispari che converge a -1[nota]Considera che ogni sottosuccessione convergente di $\cos(\pi n)$ può convergere solo a 1 o a -1 che è proprio la classe limite della successione $Cl={1,-1}$[/nota] . Quindi dette $z_{2k}$ e $z_{2k+1}$ le due sottosuccessioni di $z_n$, avremo che $z_{2k} \rightarrow 5/2$ e $z_{2k+1} \rightarrow -1/2$
Ok per il secondo addendo ho capito, mentre per il primo addendo non capisco
le ipotesi che portano a considerare $n>3$.
Inoltre mi confonde l'utilizzo del simbolo $i$ da parte di chi ha redatto il testo, tendo a confondermi perché non so dargli una "caratteristica"
"dan95":
Vediamo che per $ n>3 $
le ipotesi che portano a considerare $n>3$.
Inoltre mi confonde l'utilizzo del simbolo $i$ da parte di chi ha redatto il testo, tendo a confondermi perché non so dargli una "caratteristica"
$i=\sqrt{-1}$
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