4 esercizi veloci sullo studio di funzione, sono in panne :|
Di questi quattro esercizi non riesco ad inquadrare lo svolgimento. 
Più che le soluzioni degli esercizi sono i metodi che cerco di capire.
Qualcuno mi può aiutare?
es 1
es 2
es 3
es 4
[mod="gugo82"]Benvenuto.
Leggi il regolamento (in particolare 1.2-1.4) e questo avviso, traine le dovute conseguenze ed inserisci qualche post in più in cui spieghi come intendi affrontare o come hai pensato (in linea di massima) di risolvere il problema.
In mancanza di risposta il thread verrà chiuso.[/mod]
Più che le soluzioni degli esercizi sono i metodi che cerco di capire.
Qualcuno mi può aiutare?
es 1
es 2
es 3
es 4
[mod="gugo82"]Benvenuto.
Leggi il regolamento (in particolare 1.2-1.4) e questo avviso, traine le dovute conseguenze ed inserisci qualche post in più in cui spieghi come intendi affrontare o come hai pensato (in linea di massima) di risolvere il problema.
In mancanza di risposta il thread verrà chiuso.[/mod]
Risposte
Se non hai chiara la meccanica dovresti ragionare per "assurdo" o quanto meno provare a capire il significato delle possibili soluzioni.
Per esempio nell'esercizio uno potresti provare a prendere $g(x)= -x +3$
e porti questa domanda: cosa vuol dire che $g(x)= -x +3$ è la risposta giusta?
cioè che condizioni deve soddisfare per essere la risposta giusta?
Naturalmente se le condizioni sono soddisfatte la risposta è giusta altrimenti no, ma cmq hai in pratica messo in evidenza il procedimento da appliccare per capire qual'è la risposta esatta.
Questo tipo di approccio può essere usato anche per l'esercizio due.
Ma non è molto adatto al 3 e al 4, che ora su due piedi non saprei come spiegarti come procedere senza risolverteli.
E' comunque posta e spiega cosa non ti è chiaro andando nei particolari e come stavi provando a risolvere.
Per esempio nell'esercizio uno potresti provare a prendere $g(x)= -x +3$
e porti questa domanda: cosa vuol dire che $g(x)= -x +3$ è la risposta giusta?
cioè che condizioni deve soddisfare per essere la risposta giusta?
Naturalmente se le condizioni sono soddisfatte la risposta è giusta altrimenti no, ma cmq hai in pratica messo in evidenza il procedimento da appliccare per capire qual'è la risposta esatta.
Questo tipo di approccio può essere usato anche per l'esercizio due.
Ma non è molto adatto al 3 e al 4, che ora su due piedi non saprei come spiegarti come procedere senza risolverteli.
E' comunque posta e spiega cosa non ti è chiaro andando nei particolari e come stavi provando a risolvere.
ok allora seguendo il tuo consiglio, e ragionando sulle soluzioni ho che:
1)
mi trovo davanti a delle rette, quindi continue e definite su tutto il dominio dei reali..,
so che anche la mia funzione è continua, ma non ne conosco la forma,
tuttavia a larga tolleranza.. potrei dire che anche la mia funzione possa essere approssimata ad una retta..
quindi se così fosse, affinche la mia retta si incroci con una di quelle soluzioni, dovrebbe avere il coefficiente angolare inverso
ad una di queste..
(y - y0 ) = m ( x -x0)
(1 - (-1) ) = m ( 2 - 0)
m = 1 --> e y= -x +3 ha m= -1
Corretto? OO
2) di questa di istinto mi verebbe da pensare che datomi un intervallo x,
io debba andare a cercarmi le intersezioni con questo asse (le soluzioni),
e vedere se vanno a parare proprio in questo intervallo..
ponendo y=0
x^2 - 4=0 ---> x= +- 2 ---> no
2x +3=0 ---> x= -3/2 ---> no
1 - x^2=0 ---> x= +- 1 ---> si (+1)
x^3 / 2 +1=0 ---> x= sqrt^3(-1/2) ---> no/boh
quindi tenterei la risp per f(x) = 1 - x^2
Corretto? OO
3 - 4) di questi mi bloccano proprio:
- non riuscire ad invertire t^5 + t^3 - 2
- come ricercare le tre soluzioni..
Se qualcuno mi può svolgere velocemente questi due.. mi da una grossa mano
1)
mi trovo davanti a delle rette, quindi continue e definite su tutto il dominio dei reali..,
so che anche la mia funzione è continua, ma non ne conosco la forma,
tuttavia a larga tolleranza.. potrei dire che anche la mia funzione possa essere approssimata ad una retta..
quindi se così fosse, affinche la mia retta si incroci con una di quelle soluzioni, dovrebbe avere il coefficiente angolare inverso
ad una di queste..
(y - y0 ) = m ( x -x0)
(1 - (-1) ) = m ( 2 - 0)
m = 1 --> e y= -x +3 ha m= -1
Corretto? OO
2) di questa di istinto mi verebbe da pensare che datomi un intervallo x,
io debba andare a cercarmi le intersezioni con questo asse (le soluzioni),
e vedere se vanno a parare proprio in questo intervallo..
ponendo y=0
x^2 - 4=0 ---> x= +- 2 ---> no
2x +3=0 ---> x= -3/2 ---> no
1 - x^2=0 ---> x= +- 1 ---> si (+1)
x^3 / 2 +1=0 ---> x= sqrt^3(-1/2) ---> no/boh
quindi tenterei la risp per f(x) = 1 - x^2
Corretto? OO
3 - 4) di questi mi bloccano proprio:
- non riuscire ad invertire t^5 + t^3 - 2
- come ricercare le tre soluzioni..
Se qualcuno mi può svolgere velocemente questi due.. mi da una grossa mano
"hendrix492":
ok allora seguendo il tuo consiglio, e ragionando sulle soluzioni ho che:
1)
mi trovo davanti a delle rette, quindi continue e definite su tutto il dominio dei reali..,
so che anche la mia funzione è continua, ma non ne conosco la forma,
tuttavia a larga tolleranza.. potrei dire che anche la mia funzione possa essere approssimata ad una retta..
quindi se così fosse, affinche la mia retta si incroci con una di quelle soluzioni, dovrebbe avere il coefficiente angolare inverso
ad una di queste..
(y - y0 ) = m ( x -x0)
(1 - (-1) ) = m ( 2 - 0)
m = 1 --> e y= -x +3 ha m= -1
Corretto? OO
Assolutamente no. Non puoi minimamente approssimare una funzione continua con una retta, al massimo puoi usare la retta come controesempio. D'altra parte sai che $f$, essendo continua prende tutti i valori compresi tra $f(0)=-1$ e $f(2)=1$.
Le rette $-x+3$ in $(0,2)$ prende valori in $g(0)=3$ e $g(2)=1$. Le due funzioni si incontrano nel punto $2$ ma non è detto che si incontrino nell'intervallo $(0,2)$. Con le seconda retta $x/2+1/4$ abbiamo una retta che prende valori tra $1/4 > -1$ e $5/4>1$. Anche in questo caso la retta è un controesempio. Quindi ne $a$ ne $b$ sono corretti.
Puoi proseguire da solo per i primi 2. Se non ci arrivi da solo puoi leggere l'hint:
Il restante
te la sei un pò complicate un teorema sulle funzioni continue dice che.
se una funzione è continua in un'intervallo, presi due punti al suo interno $x_1$ e $x_2$, con $x_1
In breve dice che l'immagine di un intervallo è un intervallo.
la tua idea di pensare come una retta tra due punti la funzione continua definita solo per due punti è in linea con la soluzione, poiche se una funzione continua a un'intersezione con quella retta la ha anche con tutte le funzioni continue in quell'intervallo e passanti per i due punti dati.
Se sono stato contorto dimmelo.
Per risolvere l'esercizio potresti anche provare disegnando le 4 rette e il segmento di estremi $(0,-1)$ e $(2,1)$, ma a mio parere è meglio provare a risolverlo senza pensare troppo al grafico.
se una funzione è continua in un'intervallo, presi due punti al suo interno $x_1$ e $x_2$, con $x_1
In breve dice che l'immagine di un intervallo è un intervallo.
la tua idea di pensare come una retta tra due punti la funzione continua definita solo per due punti è in linea con la soluzione, poiche se una funzione continua a un'intersezione con quella retta la ha anche con tutte le funzioni continue in quell'intervallo e passanti per i due punti dati.
Se sono stato contorto dimmelo.
Per risolvere l'esercizio potresti anche provare disegnando le 4 rette e il segmento di estremi $(0,-1)$ e $(2,1)$, ma a mio parere è meglio provare a risolverlo senza pensare troppo al grafico.
"hendrix492":
es 3
"hendrix492":
es 4
"krek":
la tua idea di pensare come una retta tra due punti la funzione continua definita solo per due punti è in linea con la soluzione, poiche se una funzione continua a un'intersezione con quella retta la ha anche con tutte le funzioni continue in quell'intervallo e passanti per i due punti dati.
Il pensare alla retta può essere a mio avviso fuorviante e poi è un passaggio di troppo dato che si può fare tutto solo guardando i valori agli estremi e una versione semplificata (come dimostrazione in realtà non è più semplice) del tuo teorema (che poi immagino sia come l'hai pensato tu).
Tra l'altro il tuo teorema dice solo che l'immagine di una funzione continua è un intervallo. Per fare il passaggio necessario per rendere accettabile l'uso delle sole rette serve un ulteriore teorema che dica che l'intersezione in $(a,b)$ di due rette implica l'intersezione di tutte le funzioni continue che hanno come vertici i vertici di quelle due retta (un teorema che è semplice da dimostrare ma che è inutile).
Allora in tanto, vi ringrazio subito per l'attenzione e per le buone dritte 
.
dunque, prima di guardarmi le soluzioni gentilmente preparatemi.. vedevo se avevo capito..
uso il teorema degli zeri..
es 1 -> RISPOSTA C
f(x) -> [1/2, -1/2]
es 2 -> RISPOSTA C
f(x) -> [1, -3]
Penso sia corretto Grazie
.dunque, prima di guardarmi le soluzioni gentilmente preparatemi.. vedevo se avevo capito..
uso il teorema degli zeri..
es 1 -> RISPOSTA C
f(x) -> [1/2, -1/2]
es 2 -> RISPOSTA C
f(x) -> [1, -3]
Penso sia corretto
Grazie
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sostituisci b con dei valori per capire cosa succede quando lo muti. Indicativamente ci sono un massimo e un minimo. Quello che devi avere è un massimo positivo e un minimo negativo. Ma per capire il perché ti suggerisco di farti qualche disegno e vederli con geogebra o simili.
Derive consiglia -2 < b < 2.
In poche parole sostituisco a b una serie di valori,
cerco i punti stazionari di massimo e di minimo,
guardo il segno della derivata prima,
e tiro le somme. Grazie
.
"vict85":
[quote="krek"]
la tua idea di pensare come una retta tra due punti la funzione continua definita solo per due punti è in linea con la soluzione, poiche se una funzione continua a un'intersezione con quella retta la ha anche con tutte le funzioni continue in quell'intervallo e passanti per i due punti dati.
Il pensare alla retta può essere a mio avviso fuorviante
[/quote]
Fin qui posso anche concordare sulla tua osservazione.
"vict85":
e poi è un passaggio di troppo dato che si può fare tutto solo guardando i valori agli estremi e una versione semplificata (come dimostrazione in realtà non è più semplice) del tuo teorema (che poi immagino sia come l'hai pensato tu).
Qui mi son perso, se me lo spieghi più semplicemente te ne sarò grato.
"vict85":
Tra l'altro il tuo teorema dice solo che l'immagine di una funzione continua è un intervallo. Per fare il passaggio necessario per rendere accettabile l'uso delle sole rette serve un ulteriore teorema che dica che l'intersezione in $(a,b)$ di due rette implica l'intersezione di tutte le funzioni continue che hanno come vertici i vertici di quelle due retta (un teorema che è semplice da dimostrare ma che è inutile).
Anche qui non ho ben chiaro perchè servirebbe un teorema specifico per le rette, e perchè parli di vertici di due rette?
Io sto dicendo semplicemente che se una funzione $a(x)$ continua ha un'intersezione col segmento che a come estremi i due punti dati, allora ha almeno un'intersezione con qualsiasi $f(x)$ funzione continua che passa da quei due punti dati.
Ti ringrazio anticipatamente per i chiarimenti sui punti che non mi sono chiari della tua risposta.
"hendrix492":
Derive consiglia -2 < b < 2.
In poche parole sostituisco a b una serie di valori,
cerco i punti stazionari di massimo e di minimo,
guardo il segno della derivata prima,
e tiro le somme. Grazie
Dovresti anche considerare il comportamento ai limiti $\pm \infty$. In pratica si tratta di considerare le zone in cui è monotona e quindi vedere se in quei tratti potrebbe passare per 0 (una funzione strettamente monotona ha al più uno 0).
"krek":
Qui mi son perso, se me lo spieghi più semplicemente te ne sarò grato.
Che basta considerare gli zeri della funzione $h(x)=f(x)-g(x)$. La presenza o meno di zeri è assicutata dalla presenza o meno di una cambio della positività della funzione (un po' come nel metodo della bisezione in analisi numerica).
"krek":
Anche qui non ho ben chiaro perchè servirebbe un teorema specifico per le rette, e perchè parli di vertici di due rette?
Io sto dicendo semplicemente che se una funzione $a(x)$ continua ha un'intersezione col segmento che a come estremi i due punti dati, allora ha almeno un'intersezione con qualsiasi $f(x)$ funzione continua che passa da quei due punti dati.
Ti ringrazio anticipatamente per i chiarimenti sui punti che non mi sono chiari della tua risposta.
Quello che dicevo io era semplicemente che dovevi dimostrarlo per poterlo usare. Non lo considererei propriamente tra i "teoremi base". Avevo solo scritto, probabilmente male, una variante di quello che hai scritto tu. La dimostrazione è semplice ma usare il metodo scritto sopra ha il pregio di non sembrare un metodo ad hoc.
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