4 condizioni
Potete dirmi quali condizioni imporre per risolvere questo quesito?
Si determino i coefficenti dell'equazione:
y=ax^3+bx^2+cx+d
in modo che la curva da essa rappresentata tocchi la retta y=x nel punto A(1;1) e la retta y=0 nel punto B(3;0).
Si determino i coefficenti dell'equazione:
y=ax^3+bx^2+cx+d
in modo che la curva da essa rappresentata tocchi la retta y=x nel punto A(1;1) e la retta y=0 nel punto B(3;0).
Risposte
1° e 2° condizione: la curva y=ax^3+bx^2+cx+d deve passare per i punti A(1,1) e B(3,0) quindi
a+b+c+d=1 e 27a+9b+3c+d=0
3° condizione: la derivata di y=ax^3+bx^2+cx+d calcolata nel punto (1,1) deve fare 1
4° condizione: la derivata di y=ax^3+bx^2+cx+d calcolata nel punto (3,0) si deve annullare
Lascio a te i calcoli, se comunque hai difficoltà chiedi pure
a+b+c+d=1 e 27a+9b+3c+d=0
3° condizione: la derivata di y=ax^3+bx^2+cx+d calcolata nel punto (1,1) deve fare 1
4° condizione: la derivata di y=ax^3+bx^2+cx+d calcolata nel punto (3,0) si deve annullare
Lascio a te i calcoli, se comunque hai difficoltà chiedi pure
La curva tocchi la retta y = x nel punto A(1,1) : intendo che sia tangente ; lo stesso per il punto B(3,0) :intendo che sia tangente all 'asse x nel punto B.
I) Impongo che la curva passi per i punti A , B e quindi ottengo :
1=a+b+c+d( sostituisco nell'equazione della curva y con 1 e x con 1)
0=27a+9b+3c+d ( sostituisco y con 0 e x con 3)
Adesso va sfruttato il fatto che la curva è tangente alla retta y=x nel punto a(1,1) .
Calcolo la derivata prima : y' = 3ax^2+2bx+c e impongo che la derivata calcolata per x = 1 valga 1 ( che è il coefficiente angolare della retta y=x) e ottengo :
3a+2b+c = 1
Analogamente impongo vhe la derivata della curva per x = 3 valga 0 ( deve essere tangente all'asse x) e ottengo :
27a+6b+c = 0
.
In conclusione ottengo 4 equazioni in 4 incognite : risolvendo si ha :
a= 1/2 , b= -13/4 ; c=6 ; d= -9/4, salvo errori di calcolo.
Camillo
I) Impongo che la curva passi per i punti A , B e quindi ottengo :
1=a+b+c+d( sostituisco nell'equazione della curva y con 1 e x con 1)
0=27a+9b+3c+d ( sostituisco y con 0 e x con 3)
Adesso va sfruttato il fatto che la curva è tangente alla retta y=x nel punto a(1,1) .
Calcolo la derivata prima : y' = 3ax^2+2bx+c e impongo che la derivata calcolata per x = 1 valga 1 ( che è il coefficiente angolare della retta y=x) e ottengo :
3a+2b+c = 1
Analogamente impongo vhe la derivata della curva per x = 3 valga 0 ( deve essere tangente all'asse x) e ottengo :
27a+6b+c = 0
.
In conclusione ottengo 4 equazioni in 4 incognite : risolvendo si ha :
a= 1/2 , b= -13/4 ; c=6 ; d= -9/4, salvo errori di calcolo.
Camillo
Grazie innanzitutto, i valori di a,b,c, e d erano esatti. Potreste aiutarci in altri due quesiti? Siamo due liceali di quinta che si imbattono nei vecchi compiti di maturità... Aiutateci please..domani abbiamo compito in classe!
In un quesito dice che in un sistema di assi cartesiani di consideri un triangolo equilatero ABC avente il vertice A nel punto (3;0), il vertice B sull'asse delle ordinate e il vertice C sulla retta di equazione x=3. Si determino i coefficenti dell'equazione: y=ax^2+bx+c in modo che essa passi per i vertici A e B del triangolo e divide questo in due parti delle quali quella determinata dal lato AB sia la metà dell'altra (una prima condizione l'abbiamo trovata sostituendo le cord. di A,per l'altra nn abbiamo idea, l'ultima dovrebbe essere un integrale,che non abbiamo studiato)
L'altro quesito chiede uno studio di funzione: y=sen^3x+cos^3x nell'intervallo chiuso 0;2pigreco
La positività si fa per via grafica? Se si, potreste darci qualche dritta?
Grazie e scusate ancora per l'insistenza
In un quesito dice che in un sistema di assi cartesiani di consideri un triangolo equilatero ABC avente il vertice A nel punto (3;0), il vertice B sull'asse delle ordinate e il vertice C sulla retta di equazione x=3. Si determino i coefficenti dell'equazione: y=ax^2+bx+c in modo che essa passi per i vertici A e B del triangolo e divide questo in due parti delle quali quella determinata dal lato AB sia la metà dell'altra (una prima condizione l'abbiamo trovata sostituendo le cord. di A,per l'altra nn abbiamo idea, l'ultima dovrebbe essere un integrale,che non abbiamo studiato)
L'altro quesito chiede uno studio di funzione: y=sen^3x+cos^3x nell'intervallo chiuso 0;2pigreco
La positività si fa per via grafica? Se si, potreste darci qualche dritta?
Grazie e scusate ancora per l'insistenza
Si può fare analiticamente lo studio del segno ;ad esempio ricordando l'identità :
a^3+b^3 = ( a+b)*(a^2-ab+b^2); quindi (Sinx)^3+(cosx)^3 diventa :
[sinx+cosx]*[ (sinx)^2-sinx*cosx+(cosx)^2]= [sin x+cosx]*[1-sinx*cosx].
Il fattore 1-sinx*cosx è sempre positivo ( lo trasformo in 1-(1/2)sin2x ed è evidente che è sempre vero ).
Basta allora studiare il segno e gli zeri di : sinx + cosx.
Camillo
a^3+b^3 = ( a+b)*(a^2-ab+b^2); quindi (Sinx)^3+(cosx)^3 diventa :
[sinx+cosx]*[ (sinx)^2-sinx*cosx+(cosx)^2]= [sin x+cosx]*[1-sinx*cosx].
Il fattore 1-sinx*cosx è sempre positivo ( lo trasformo in 1-(1/2)sin2x ed è evidente che è sempre vero ).
Basta allora studiare il segno e gli zeri di : sinx + cosx.
Camillo
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