3 problemi
Ok, dopo una lunga serie di dubbi che mi avete chiarito, vi chiedo un ultimo sforzo 
1)Come faccio a calcolare il codominio di una funzione in $RR^2"$ ?
2)Data una funzione del tipo (la sto inventando perchè non ho il testo dell'esame)
$f(x)=\int_0^1 xydy$
E' giusto dire che la funzione è l'integrale svolto? Perchè l'esercizio chiedeva di calcolare un limite sulla derivata di $f(x)$ e quindi io ho pensato che dovevo derivare il risultato dell'integrale, ma il prof parlava di formule... (alle superiori facevo questi esercizi e non avevo formule)
3)Punto più complicato: Come calcolare la derivata diciottesima (ad esempio) di una funzione?
1)Come faccio a calcolare il codominio di una funzione in $RR^2"$ ?
2)Data una funzione del tipo (la sto inventando perchè non ho il testo dell'esame)
$f(x)=\int_0^1 xydy$
E' giusto dire che la funzione è l'integrale svolto? Perchè l'esercizio chiedeva di calcolare un limite sulla derivata di $f(x)$ e quindi io ho pensato che dovevo derivare il risultato dell'integrale, ma il prof parlava di formule... (alle superiori facevo questi esercizi e non avevo formule)
3)Punto più complicato: Come calcolare la derivata diciottesima (ad esempio) di una funzione?
Risposte
1) Così come fai a calcolare il codominio delle funzioni di una sola variabile.
2) Se l'integrale lo riesci a svolgere, va bene il tuo ragionamento; tuttavia, quando il calcolo dell'integrale non è possibile, c'è il teorema di derivazione per gli integrali dipendenti da un parametro.
3) Dipende dalla funzione. Alcune volte è possibile ragionare per ricorrenza; altre si può ricorrere alla formula di Taylor (quando questa sia già nota).
2) Se l'integrale lo riesci a svolgere, va bene il tuo ragionamento; tuttavia, quando il calcolo dell'integrale non è possibile, c'è il teorema di derivazione per gli integrali dipendenti da un parametro.
3) Dipende dalla funzione. Alcune volte è possibile ragionare per ricorrenza; altre si può ricorrere alla formula di Taylor (quando questa sia già nota).
1) Nei vari post ho letto che quando possibile si intuisce, oppure si passa alla funzione inversa per trovare i valori della y e quindi il codominio. Ma in $RR^2$ come faccio a passare ad un'inversa?
2)ok la formula mi sa che era proprio quella, ma se me la scrivi forse è meglio perchè ho trovato su internet con un linguaggio molto simbolico e poco commentato (ad esempio non ho capito se, avendo $f(x)$ e un integrale $dy$ si deriva parzialmente rispetto a $x$ o $y$)
3)Ho solo un esercizio fatto del genere e gli appunti sono stati presi di fretta quindi non me lo ricordo bene il procedimento
mi fai un esempio? PS: serie di Taylor il prof usa
2)ok la formula mi sa che era proprio quella, ma se me la scrivi forse è meglio perchè ho trovato su internet con un linguaggio molto simbolico e poco commentato (ad esempio non ho capito se, avendo $f(x)$ e un integrale $dy$ si deriva parzialmente rispetto a $x$ o $y$)
3)Ho solo un esercizio fatto del genere e gli appunti sono stati presi di fretta quindi non me lo ricordo bene il procedimento
mi fai un esempio? PS: serie di Taylor il prof usa
"Aryma":
1) Nei vari post ho letto che quando possibile si intuisce, oppure si passa alla funzione inversa per trovare i valori della y e quindi il codominio. Ma in $RR^2$ come faccio a passare ad un'inversa?
Non puoi.
Però puoi calcolare estremo superiore/massimo assoluto $M$ e estremo inferiore/minimo assoluto $m$ della funzione; se la funzione è continua allora essa assume tutti i valori $y in (m,M)$ (con estremi inclusi se sono massimo e minimo), quindi il codominio è...
"Aryma":
2)ok la formula mi sa che era proprio quella, ma se me la scrivi forse è meglio perchè ho trovato su internet con un linguaggio molto simbolico e poco commentato (ad esempio non ho capito se, avendo $f(x)$ e un integrale $dy$ si deriva parzialmente rispetto a $x$ o $y$)
Se hai una funzione del tipo:
$F(x)=\int_(phi(x))^(psi(x)) f(x,y)" d"y$
e se le funzioni $phi, psi, f$ sono "belle" (ossia differenziabili o, addirittura, di classe $C^1$), allora il teorema di derivazione della funzione composta ed il teorema fondamentale del calcolo integrale implicano che:
$F'(x)=psi'(x) f(x,psi(x)) - phi'(x) f(x,phi(x))+\int_(phi(x))^(psi(x)) (\partial f)/(\partial x)(x,y)" d"y \quad$.
"Aryma":
3)Ho solo un esercizio fatto del genere e gli appunti sono stati presi di fretta quindi non me lo ricordo bene il procedimento
Supponi che:
$f(x)=\sum_(n=0)^(+oo) a_n (x-x_0)^n$
e che tu voglia calcolare la derivata $f^((N))(x_0)$; visto che l'ennesimo coefficiente della serie di Taylor è $a_n=(f^((n))(x_0))/(n!)$, hai semplicemente:
$f^((N))(x_0)=N!*a_N$.
Ad esempio è:
$f(x):=x^2(1-"e"^(-x^2))=\sum_(n=1)^(+oo) ((-1)^(n-1) x^(2n+2))/(n!)$
(vedi qui), quindi ad esempio:
$f^((7))(0)=7!*a_7=7!*0=0\quad$ ed $\quad f^((8))(0)=8!*a_8=8!*((-1)^(2))/(3!)=8*7*6*5*4=6720$.
"Aryma":
PS: serie di Taylor il prof usa
Maestro Yoda dettato il P.S. ti ha?
Ahahaha lascia stare, era tardi e scrivevo dall'iphone XD
1)Grazie mille
pero' mi viene in mente... calcolare i limiti per $(x,y)$ tendenti a infinito allora a cosa serve? @.@
2)Ok capito grazie ancora
3) Ho capito cio' che fai... pero' in quella funzione non ho capito i passaggi... precisamente
$x^2(1- \sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^(2n)/(n!))$ come fa a diventare..
$x^2(1-1- \sum_{n=1}^\infty(-1)^nx^(2n)/(n!))
Cioè il termine per $n=0$ non è $-1$? inoltre non capisco anche come dentro la sommatoria diventi successivamente $(-1)^(n-1)
1)Grazie mille
pero' mi viene in mente... calcolare i limiti per $(x,y)$ tendenti a infinito allora a cosa serve? @.@2)Ok capito
grazie ancora 3) Ho capito cio' che fai... pero' in quella funzione non ho capito i passaggi... precisamente
$x^2(1- \sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^(2n)/(n!))$ come fa a diventare..
$x^2(1-1- \sum_{n=1}^\infty(-1)^nx^(2n)/(n!))
Cioè il termine per $n=0$ non è $-1$? inoltre non capisco anche come dentro la sommatoria diventi successivamente $(-1)^(n-1)
Ok ora ho esempi concreti:
1) $f(x,y)=3x^2-3y^2-6x+6y+8xy+1$
L'hessiano da punti solo di sella. il codominio di questa? Dovrei fare i limiti per infinito?
2) $F(x)=$$\int_0^1yln(x^2+y^2+1)dy$
Il dominio di questa? Perchè il teorema parla di derivata soltanto no? Mentre l'es vuole il dominio di F(x)
1) $f(x,y)=3x^2-3y^2-6x+6y+8xy+1$
L'hessiano da punti solo di sella. il codominio di questa? Dovrei fare i limiti per infinito?
2) $F(x)=$$\int_0^1yln(x^2+y^2+1)dy$
Il dominio di questa? Perchè il teorema parla di derivata soltanto no? Mentre l'es vuole il dominio di F(x)
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